Prikazi cijelu temu
22.04.2012 18:19
22.04.2012 18:19
Predmet:Re: Konike
Apolonijevi problemi
Razmotricemo Apolonijeve probleme o dodiru krugova koji se mogu na rijesiti primjenom inverzije. Pretpostavlja se da su sve tacke, prave i krugovi iz uslova sledecih zadataka u istoj ravni.
Zadatak 1:
Neka su date tri tacke A, B, C. Konstruisati krug k koji prolazi kroz date tacke.
Resenje:
Ako date tacke spojimo duzima AB, BC, CA, dolazimo do trougla ABC. Trazeni krug k je tada opisani krug oko trougla ABC. Centar kruga k opisanog oko trougla ABC je presjek simetrala stranica datog trougla.
Zadatak 2:
Neka su date dvije tacke A i B i prava p. Treba kroz tacke A i B povuci krug koji dodiruje pravu p.
Rjesenje:
Na simetrali s duzi AB nalazi se centar svakog kruga koji prolazi kroz tacke A i B. Uzmimo na simetrali s proizvoljnu tacku K i spustimo normalu KD na pravu p. Pomocni krug poluprecnika KD sa centrom u K dodiruje pravu p, ali ne mora prolaziti kroz tacke A i B. Neka je tacka S presjek simetrale s i date prave p.
Neka prava AS sijece krug u tacki A1 . Konstuisemo duz AO1 paralelno sa A1K . Neka je D1 projekcija tacke O1 na pravu p. Iz sljedecih proporcija koje vaze:
KD:O1D1=SK:SO1
KA1:O1A=SK:SO1
imamo
KD:O1D1=KA1:O1A
Kako je KD=KA1 to je O1D1=O1A
Tacka O1 je na simetrali s pa je AO1=BO1
odnosno
AO1=BO1=O1D1
Za odredjivanje drugog trazenog kruga sa centrom u O2 mozemo uzeti:
D2 je podnozje normale spustene iz O2 na pravu p, a C, presjek prave p i prave kroz date tacke A i B.
Imamo
CA*CB=CD12 i
CA*CB=CD22
Poslije odredjivanja tacke D2 na p, konstrukcijom normale na p u tacki D2 , odredjuje se polozaj tacke O2, centra drugog trazenog kruga, a time i sam trazeni krug.
Apolonijevi problemi
Razmotricemo Apolonijeve probleme o dodiru krugova koji se mogu na rijesiti primjenom inverzije. Pretpostavlja se da su sve tacke, prave i krugovi iz uslova sledecih zadataka u istoj ravni.
Zadatak 1:
Neka su date tri tacke A, B, C. Konstruisati krug k koji prolazi kroz date tacke.
Resenje:
Ako date tacke spojimo duzima AB, BC, CA, dolazimo do trougla ABC. Trazeni krug k je tada opisani krug oko trougla ABC. Centar kruga k opisanog oko trougla ABC je presjek simetrala stranica datog trougla.
Zadatak 2:
Neka su date dvije tacke A i B i prava p. Treba kroz tacke A i B povuci krug koji dodiruje pravu p.
Rjesenje:
Na simetrali s duzi AB nalazi se centar svakog kruga koji prolazi kroz tacke A i B. Uzmimo na simetrali s proizvoljnu tacku K i spustimo normalu KD na pravu p. Pomocni krug poluprecnika KD sa centrom u K dodiruje pravu p, ali ne mora prolaziti kroz tacke A i B. Neka je tacka S presjek simetrale s i date prave p.
Neka prava AS sijece krug u tacki A1 . Konstuisemo duz AO1 paralelno sa A1K . Neka je D1 projekcija tacke O1 na pravu p. Iz sljedecih proporcija koje vaze:
KD:O1D1=SK:SO1
KA1:O1A=SK:SO1
imamo
KD:O1D1=KA1:O1A
Kako je KD=KA1 to je O1D1=O1A
Tacka O1 je na simetrali s pa je AO1=BO1
odnosno
AO1=BO1=O1D1
Za odredjivanje drugog trazenog kruga sa centrom u O2 mozemo uzeti:
D2 je podnozje normale spustene iz O2 na pravu p, a C, presjek prave p i prave kroz date tacke A i B.
Imamo
CA*CB=CD12 i
CA*CB=CD22
Poslije odredjivanja tacke D2 na p, konstrukcijom normale na p u tacki D2 , odredjuje se polozaj tacke O2, centra drugog trazenog kruga, a time i sam trazeni krug.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj