Prikazi cijelu temu
26.09.2010 09:52
26.09.2010 09:52
Predmet:Tacka prava i ravan
Tacka, prava i ravan su osnovni pojmovi geometrije. Neka su prava i ravan skupovi tacaka. Kako se ne definisu i njihove osobine daju se aksiomima.
Aksiomi prave
1. Svake dvije razlicite tacke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj
2. Svaka prava sadrzi najmanje dvije zajednicke tacke.
3. Postoje tri nekolinearne tacke
Dvije tacke su uvijek kolinearne
Presjek dvije prave
Za dvije prave koje imaju jednu zajednicku tacku kazemo da se sijeku.
Zajednicka tacka te dvije prave naziva se sjeciste ili presjecna tacka. a ∩ b={C}
Kolinearne i nekolinearne tacke
Za tacke koje leze na jednoj pravoj kazemo da su kolinearne tacke.
Za tri tacke koje ne leze na jednoj pravoj kazemo da su nekolinearne.
Postoje tri nekolinearne tacke
Posljedice
1.Dvije razlicite prave imaju najvise jednu zajednicku tacku
2.Van svake dvije prave postoji bar jedna tacka.
Paralelne i mimoilazne prave
Za dvije prave koje leze u jednoj ravni i nemaju zajednickih tacaka kazemo da su paralelne. Za prave koje ne leze u jednoj ravni kazemo da su mimoilazne.
Za dvije prave a i b vazi:
1. Ako je a ∩ b={A, B}=> a=b
2. Ako je a ∩ b={A} sijeku se
3. Ako a i b nemaju zajednickih tacaka a j3e paralelno sa b
Udaljenost paralelnih pravi
Neka je data tacka M jedne prave i njena projekcije M' na drugu pravu Trazi se njena projekcij
Iz navedenih uslova odredjujemo koeficijent k, а sа njime odredjeno je i M'. Udaljenost tacaka M i M' je јеdnaka udaljenosti izmedju paralelnih pravi a i b.
U trodimenzionalnom prostoru ova udaljenost je jednaka visini paralelograma kojeg cine vektori
a dobije se kao kolicnik povrsine ovog paralelograma (intenzitet vektorskog proizvoda) i intenzitet vektora v.
Da bi se odredila udaljenost dvije mimoilazne prave treba predstaviti vektor izmedju njih, a zatim da se odrede parametri za koje ce on biti minimalan. Neka je ovaj vektor w, a opste tacke pravih a i b su M i N.odnosno bice:
intenzitet vektora
Ovdje korijen ne utice na vrijednost na koju parametri i α i β imaju za maximalnu vrijednost izraza korijen se moze izbaciti.
Sada cemo odrediti prve izvode izraza f(α,β) pо α i po β. Dobijamo sistem dvije jednacine sa dvije nepoznate α i β, koji mozemo rijesiti.
Odredjujemo α и β i vrijednosti uvrstimo u jednacine prave a i b, Ove koordinate ce predstavljati tacke, nazovimo ih M0 i N0, d(a,b) = d(M0,N0).
Tacka, prava i ravan su osnovni pojmovi geometrije. Neka su prava i ravan skupovi tacaka. Kako se ne definisu i njihove osobine daju se aksiomima.
Aksiomi prave
1. Svake dvije razlicite tacke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj
2. Svaka prava sadrzi najmanje dvije zajednicke tacke.
3. Postoje tri nekolinearne tacke
Dvije tacke su uvijek kolinearne
Presjek dvije prave
Za dvije prave koje imaju jednu zajednicku tacku kazemo da se sijeku.
Zajednicka tacka te dvije prave naziva se sjeciste ili presjecna tacka. a ∩ b={C}
Kolinearne i nekolinearne tacke
Za tacke koje leze na jednoj pravoj kazemo da su kolinearne tacke.
Za tri tacke koje ne leze na jednoj pravoj kazemo da su nekolinearne.
Postoje tri nekolinearne tacke
Posljedice
1.Dvije razlicite prave imaju najvise jednu zajednicku tacku
2.Van svake dvije prave postoji bar jedna tacka.
Paralelne i mimoilazne prave
Za dvije prave koje leze u jednoj ravni i nemaju zajednickih tacaka kazemo da su paralelne. Za prave koje ne leze u jednoj ravni kazemo da su mimoilazne.
Za dvije prave a i b vazi:
1. Ako je a ∩ b={A, B}=> a=b
2. Ako je a ∩ b={A} sijeku se
3. Ako a i b nemaju zajednickih tacaka a j3e paralelno sa b
Udaljenost paralelnih pravi
Neka je data tacka M jedne prave i njena projekcije M' na drugu pravu Trazi se njena projekcij
Iz navedenih uslova odredjujemo koeficijent k, а sа njime odredjeno je i M'. Udaljenost tacaka M i M' je јеdnaka udaljenosti izmedju paralelnih pravi a i b.
U trodimenzionalnom prostoru ova udaljenost je jednaka visini paralelograma kojeg cine vektori
a dobije se kao kolicnik povrsine ovog paralelograma (intenzitet vektorskog proizvoda) i intenzitet vektora v.
Da bi se odredila udaljenost dvije mimoilazne prave treba predstaviti vektor izmedju njih, a zatim da se odrede parametri za koje ce on biti minimalan. Neka je ovaj vektor w, a opste tacke pravih a i b su M i N.odnosno bice:
intenzitet vektora
Ovdje korijen ne utice na vrijednost na koju parametri i α i β imaju za maximalnu vrijednost izraza korijen se moze izbaciti.
Sada cemo odrediti prve izvode izraza f(α,β) pо α i po β. Dobijamo sistem dvije jednacine sa dvije nepoznate α i β, koji mozemo rijesiti.
Odredjujemo α и β i vrijednosti uvrstimo u jednacine prave a i b, Ove koordinate ce predstavljati tacke, nazovimo ih M0 i N0, d(a,b) = d(M0,N0).
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj