Prikazi cijelu temu
07.03.2011 00:00
07.03.2011 00:00
Predmet:Re: Algebra u geometriji
Zadatak 2
Posmatracemo jednacinu petog tipa
x2+q=px
Al-Horezmi je znao da ovakve jednacine mogu imati:
1. dva pozitivna korjena
2. jedan dvostruki)
3. nijedan oba imaginarna.
Rijesimo jednacinu
x2+21=10x
Uputstvo:
Ako prepolovimo korjen imacemo 5.
Pomnozimo li ga samimi sobom dobijamo 5*5=25.
Od toga oduzmemo 21, 25-25=4
Izvadimo iz toga korijen dobijamo 2.
Oduzmemo od polovine korjena 5-2=3. Dobili smo korjen kvadrata koji trazimo. Kvadrat je 9.
Mozes dopuniti polovinom korjena bice 7 I toje korjen kvadrata koji trazimo. Kvadrat je 49.
Treba znati:
kad god prepolovljavimo korijene i mnozimo samima sobom, ako je proizvod manji od dirhema dodatog kvadratu, zadatak je nemoguc, a ako je jednak dirhemu, korjen kvadrata jednak je polovini korjena bez dodavanja i oduzimanja...
Geometrijski dokaz razdvaja pravilo za peti tip na dva slucaja, tj. na korjene:
Za drugi slucaj u oksfordskom arapskom rukopisu receno je samo to da se korijen dobija ako duzi DH dodamo JH. Moguce je da je al-Horezmi znao da konstruise rjesenje tog slucaja, ali je problem nastao kod prepisivaca i prevodilaca. Vratimo se prvom korijenu:
Pravougaonik GCDE ima ivice GC = p i CD = x , a cine ga kvadrat ABCD = x2 i njemu dodati pravougaonik GBAE = (p-x)x=q[x<p/2].
U tacka F koja je sredina duzi GC konstruisemo vertikalu FH, koju produzimo za AH=HK=(p/2)-x.
Dopunimo kvadrate GFKM=(p/2)2 I JHLM=[(p/2)-x]2.
Po konstrukciji pravougaonici EJLM i FBAH su jednaki, pa je kvadeat JHKL jednak razlici kvadrata GFKM i zbira pravougaonika GFKM i EJLM:
Zadatak 2
Posmatracemo jednacinu petog tipa
x2+q=px
Al-Horezmi je znao da ovakve jednacine mogu imati:
1. dva pozitivna korjena
2. jedan dvostruki)
3. nijedan oba imaginarna.
Rijesimo jednacinu
x2+21=10x
Uputstvo:
Ako prepolovimo korjen imacemo 5.
Pomnozimo li ga samimi sobom dobijamo 5*5=25.
Od toga oduzmemo 21, 25-25=4
Izvadimo iz toga korijen dobijamo 2.
Oduzmemo od polovine korjena 5-2=3. Dobili smo korjen kvadrata koji trazimo. Kvadrat je 9.
Mozes dopuniti polovinom korjena bice 7 I toje korjen kvadrata koji trazimo. Kvadrat je 49.
Treba znati:
kad god prepolovljavimo korijene i mnozimo samima sobom, ako je proizvod manji od dirhema dodatog kvadratu, zadatak je nemoguc, a ako je jednak dirhemu, korjen kvadrata jednak je polovini korjena bez dodavanja i oduzimanja...
Geometrijski dokaz razdvaja pravilo za peti tip na dva slucaja, tj. na korjene:
Za drugi slucaj u oksfordskom arapskom rukopisu receno je samo to da se korijen dobija ako duzi DH dodamo JH. Moguce je da je al-Horezmi znao da konstruise rjesenje tog slucaja, ali je problem nastao kod prepisivaca i prevodilaca. Vratimo se prvom korijenu:
Pravougaonik GCDE ima ivice GC = p i CD = x , a cine ga kvadrat ABCD = x2 i njemu dodati pravougaonik GBAE = (p-x)x=q[x<p/2].
U tacka F koja je sredina duzi GC konstruisemo vertikalu FH, koju produzimo za AH=HK=(p/2)-x.
Dopunimo kvadrate GFKM=(p/2)2 I JHLM=[(p/2)-x]2.
Po konstrukciji pravougaonici EJLM i FBAH su jednaki, pa je kvadeat JHKL jednak razlici kvadrata GFKM i zbira pravougaonika GFKM i EJLM:
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj