Predmet:Re: Elementi matematicke logike

---

Neki zakoni koji vaze za sudove

Zakon asocijacije za disjunkciju
(A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C),

zakon asocijacije za konjunkciju
(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C),

zakon distribucije konjunkcije prema disjunkciji
(A ∨ B) ∧ C = (A ∧ C) ∨ (B ∧ C),

zakon distribucije disjunkcije prema konjunkciji
(A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C).

Implikacija

Sud B je nuzanuslov za sud A, a sud A dovoljanuslov za sud B. Pa tako kazemo da sud A ima za posljedicu, ili da logicki povlaci (implicira) sud B.

A → B

Sud A je hipoteza dok je sud B teza ili implikacije A → B.

Implikacije koje su u nekoj nauci posebno vazne nazivaju se TEOREME, poucci ili
zakoni.

Manje vazne implikacije su LEME. Lema je pomocno sredstvo za dokazivanje
teorema.
Posljedica nekog teorema, koja se dobije na jednostavan nacin, zove se KOROLAR
ili posljedica.

Implikacija je lazna samo u jednom slucaju. I disjunkcija je lazna samo u jednom
slucaju, samo za jednu kombinaciju varijabli.

A→B i _A∨B jednake .

Ekvivalencija

Ako za dva suda istovremeno vrijede implikacije A→B i B→A, kažemo da su sudovi
logicki ekvivalentni i pišemo A↔B.

A↔B = (A→B)∧(B→A)

Za ekvivalentne sudove kayemo da su jedan drugome nuzan i dovoljan uslov.

Formula algebre sudova

Formula algebre sudova je svaki niz znakova varijabli x, y, z,…, konstanti (i) i (n), te znakova operacija negacije, konjunkcije, disjunkcije, implikacije i ekvivalencije za koje vrijede pravila formiranja:

a) Da su znakovi varijabli i konstanti formule,
b) Ako su x i y formule, tada su formule i nizovi _x, _y, x∨y, x∧y, x→y, y↔x,
x=y, x↔y,
c) Da se svaka formula dobiva konacnim brojem primjene pravila a) i b).

Predikati

P(x): x je paran broj

Istinitost, odnosno neistinitost ovoga iskaza zavisi od vrijednosti varijable x. Ovakvim elementarnim iskazima postavljaju se relacije izmedju njihovih argumenata, u ovome slucaju x i paran broj. Ove su relacije iskazane predikatima.
Varijable koje nismo specificirali u predikatu zovemo slobodnim varijablama.

Npr.:
P(x, y): x-y=1.

Univerzum razmatranja

Ako je predikat P(x₁, x₂, x₃, … x_n) istinit sud za svaki izbor argumenata iz univerzuma razmatranja kaze se da P
vrijedi u univerzumu razmatranja U.

Ako je predikat P istinit sud za neku n-torku argumenata iz U (ne nužno za sve), kaze se da je P zadovoljiv u U.
Ako ne postoji n-torka u U za koju je predikat P(x₁, x₂, x₃, … x_n) kaze se da P nije zadovoljiv u U.

Kvantifikatori

Kvantifikatori utvrdjuju da li neki (ili svi) objekti imaju neko osobinu ili
zadovoljavaju neki uslov.

Egzistencijalni kvantifikator utvrdjuje postojanje barem jednog objekta s trazenom osobinom. Oznacavamo ga simbolom ∃ (postoji). Ako tvrdimo
da postoji samo jedan x koji zadovoljava neki uslov, upotrebljavamo kvantifikator !∃.
Univerzalni kvantifikator utvrdjuje da za sve x vrijedi neki uslov. Njega oznacavamo simbolom ∀.

Postoje i predikati s više kvantifikatora.

Npr.:
∀ x ∀ y P(x, y)
∀ x ∃ y P(x, y)
∃ x ∀ y P(x, y)
∃ x ∃ y P(x, y)

Poredak kvantifikatora varijabli ne smije se mijenjati osim u ∀x∀y P(x, y) i ∃ x ∃ y P(x,y)

---