Prikazi cijelu temu
14.09.2010 19:04
14.09.2010 19:04
Predmet:Skupovi
Teorija skupova daje mogucnost baratanja sa beskonacnosti. Ona razlikuje razlicite beskonacnosti. Postoji beskonacno mnogo beskonacnosti razlicitih velicina. To je pokazao otac teorije skupova GEORG CANTOR.
Skup je osnovni pojam i zato ga ne definisemo.
Skup je kolekcija objekta koji zajedno cine cjelinu.
Na ovako nedefinisanom i nejasnom pojmu Kantor je izgradio teoriju skupova. Kao i svaka druga teorija i teorija skupva mora se zasnivati na sistemu alsioma. Kantor se nije srrogo vezivao za sistem aksioma. Analizom njegovog rada vidi se da se skoro svi toremi vezuju za 3 aksioma.
Aksiom: EKSTENZIONALNOSTI
Dva skupa su jednaka Ako imaju iste elemente.
Aksiom: KOMPREHENIZIJE
Za unaprijed datu osobinu f(x) postoji skup ciji su elementi bas oni objekti koji imaju tu osobinu tj [x; f(x)] je skup
Aksiom IZBORA
Za svaki neprazni skup postoji bar jedna funkcija ciji su argumentineprazni podskupovi datog skupa a slike su argumenti tog skupa.
Razvojem teorije o skupovima pojavili su se paradoksi. Paradoks nije isto kao i kontradikcija. Paradoks je tvrdnja ciji je dokaz logicki neupitan, ali je intuitivno sama tvrdnja upitna.
Russellov paradoks
R=[x: xje skup i xnije element iz x]
Dokazimo da R nije skup. Predpostavimo da je R skup. Mozemo postaviti pitanje da li je R element skupa R.
Predpostavimo da je R element skupa R. Onda ispunjava uslov koji ispunjavaju njegovi elementi tj x nije element skupa x odnosno R nije element skupa R. Ovim smo iz pretpostavke R je element skupa R dobili R nije element skupa R.
(dobili smo kontradikciju). Zakljucujemo da R ispunjava uslov R nije element skupa R. Tada R ispunjava definicijski uslov za skup R tj R je jedan element skupa R (kontradikcija).
Znaci predpostavka R je skup dovodi do kontradikcije, tj R nije skup.
Sta ovo znaci?
Russell je prvi dao primjer klase objekata koja nije skup. Ukazao je da Cantorov princip komprihinizije ne mozemo primjenjivati pri izgradnji skupova. Ne postoje kriteriji za izgradnju skupova.
Mozemo postaviti da li su sljedeci primjeri skupovi.
[x: postoji bijekcija izmedju skupa x i N] ( nije skup)
[ x: x je diferencijalna realna funkcija na skupu N] ( jeste skup)
[x: x je skup takav da za VyVz(y iz z iz x => y iz x] ( nije skup)
[x: postoji binarna operacija o takva da je (x,o) grupa] ( nije skup)
Ako je f neka osobina tada je (x, f/x)) klasa. Klase mogu biti ili ne biti skupovi. Klase koje nisu skupovi su prave klase. Klasa iz Russellovog paradoksa je prava klasa. Klasa x je skup ako postoji klasa y takva da je x element iz y.
Skupove treba graditi po nivoima. Njihovu izgradnju omogucava aksiomatski pristup. Ovakvi skupovi treba da cine temelj matematike. Npr da se u njima mogu definisati prirodne brojeve.
Prije izgradnje teorije skupova predpostavimo da postoji skup koji nema ni jedan element. Ovaj skup je PRAZAN skup.
Cesto se predpostavlja da neki skup ne moze biti element nekog skupa. Primjer je partitivni skup. Njegovi elementi su podskupovi datog skupa. U teoriji skupova elementi skupova su skupovi.
Teorija skupova daje mogucnost baratanja sa beskonacnosti. Ona razlikuje razlicite beskonacnosti. Postoji beskonacno mnogo beskonacnosti razlicitih velicina. To je pokazao otac teorije skupova GEORG CANTOR.
Skup je osnovni pojam i zato ga ne definisemo.
Skup je kolekcija objekta koji zajedno cine cjelinu.
Na ovako nedefinisanom i nejasnom pojmu Kantor je izgradio teoriju skupova. Kao i svaka druga teorija i teorija skupva mora se zasnivati na sistemu alsioma. Kantor se nije srrogo vezivao za sistem aksioma. Analizom njegovog rada vidi se da se skoro svi toremi vezuju za 3 aksioma.
Aksiom: EKSTENZIONALNOSTI
Dva skupa su jednaka Ako imaju iste elemente.
Aksiom: KOMPREHENIZIJE
Za unaprijed datu osobinu f(x) postoji skup ciji su elementi bas oni objekti koji imaju tu osobinu tj [x; f(x)] je skup
Aksiom IZBORA
Za svaki neprazni skup postoji bar jedna funkcija ciji su argumentineprazni podskupovi datog skupa a slike su argumenti tog skupa.
Razvojem teorije o skupovima pojavili su se paradoksi. Paradoks nije isto kao i kontradikcija. Paradoks je tvrdnja ciji je dokaz logicki neupitan, ali je intuitivno sama tvrdnja upitna.
Russellov paradoks
R=[x: xje skup i xnije element iz x]
Dokazimo da R nije skup. Predpostavimo da je R skup. Mozemo postaviti pitanje da li je R element skupa R.
Predpostavimo da je R element skupa R. Onda ispunjava uslov koji ispunjavaju njegovi elementi tj x nije element skupa x odnosno R nije element skupa R. Ovim smo iz pretpostavke R je element skupa R dobili R nije element skupa R.
(dobili smo kontradikciju). Zakljucujemo da R ispunjava uslov R nije element skupa R. Tada R ispunjava definicijski uslov za skup R tj R je jedan element skupa R (kontradikcija).
Znaci predpostavka R je skup dovodi do kontradikcije, tj R nije skup.
Sta ovo znaci?
Russell je prvi dao primjer klase objekata koja nije skup. Ukazao je da Cantorov princip komprihinizije ne mozemo primjenjivati pri izgradnji skupova. Ne postoje kriteriji za izgradnju skupova.
Mozemo postaviti da li su sljedeci primjeri skupovi.
[x: postoji bijekcija izmedju skupa x i N] ( nije skup)
[ x: x je diferencijalna realna funkcija na skupu N] ( jeste skup)
[x: x je skup takav da za VyVz(y iz z iz x => y iz x] ( nije skup)
[x: postoji binarna operacija o takva da je (x,o) grupa] ( nije skup)
Ako je f neka osobina tada je (x, f/x)) klasa. Klase mogu biti ili ne biti skupovi. Klase koje nisu skupovi su prave klase. Klasa iz Russellovog paradoksa je prava klasa. Klasa x je skup ako postoji klasa y takva da je x element iz y.
Skupove treba graditi po nivoima. Njihovu izgradnju omogucava aksiomatski pristup. Ovakvi skupovi treba da cine temelj matematike. Npr da se u njima mogu definisati prirodne brojeve.
Prije izgradnje teorije skupova predpostavimo da postoji skup koji nema ni jedan element. Ovaj skup je PRAZAN skup.
Cesto se predpostavlja da neki skup ne moze biti element nekog skupa. Primjer je partitivni skup. Njegovi elementi su podskupovi datog skupa. U teoriji skupova elementi skupova su skupovi.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj