Predmet:Re: Vietove formule
Izmedju koeficjenata polinoma { a
i}i nula polinoma {x
k} vaze jednakosti:
x1 + x2 + ... + xn-1 + xn = -an-1/an
(x1x2 +x1x3 +...+x1xn)+(x2x3 +x2x4 +...+x2xn)+...+xn-1xn = an-2/an
...
x1x2 ... xn = (-1)n a0/an
Vietove formule za polinom drugog stepena
P(x) = ax
2+bx+c
cije su nule x
1 i x
2 glase:
x
1 + x
2 = -b/a
x
1x
2 = c/a
a za polinom treceg stepena P(x) = ax
3 + bx
2 + cx + d cije su nule x
1, x
2 i x
3:
x
1 + x
2 + x
3 = -b/a
x
1x
2 + x
1x
3 + x
2x
3 = c/a
x
1x
2x
3 = -d/a.
Ako su svi koeficienti {a
i} polinoma P
n(x) realni, a polinom ima kompleksnu nulu α + iβ reda k, tada je α-iβ kompleksna nula tog polinoma reda k.
Kod polinoma sa realnim koeficientima, kompleksne nule se javljaju u parovima: kao kompleksan broj z i njemu konjugovano kompleksan broj z´.
Svaki polinom n-tog stepena sa realnim koeficientima moze da se faktorizuje, odnosno napise u obliku
P
n(x) = a
n(x-x
1)
k1(x-x
2)
k2 ...(x-x
i)
ki(x
2+b
1x+c
1)
l1(x
2+b
2x+c
2)
l2... (x
2+b
jx+c
j)
lj
za k
1 + k
2 + ... + k
i + 2(l
1 + l
2 + ... + l
j = n pri cemu su a
n, x
1, x, ... , x
i, b
1, b
2, ..., b
j , c
1, c
2,..., cj
realni brojevi, a polinomi x
2 + b
jx + c
j nemaju realnih nula. Svakoj nuli k-tog reda a odgovarace jedan faktor oblika (x - a)
k a svakom paru konjugovano kompleksnih nula k-tog reda α±iβ faktor oblika (x
2 +bx+c)
k
gde su α±iβ kompleksna rjesenja kvadratne jednacine x
2 + bx + c = 0.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj