Prikazi cijelu temu
17.09.2010 19:16
17.09.2010 19:16
Predmet:Re: Skupovi
Definicija
Za svako n iz N, n ≥ 2 definisemo uredjenu n- torku ovako:
{{ x1}, { x1, x2}}
{{ x1,..., xn}, { x(n+1)}}
kako bismo mogli govoriti o Kartazijevom proizvodu funkcija, zatim o relacijama i funkcijama navodimo semu aksima separacije
Sema aksioma separacije
Ako je x skup i F neka osobina tada je klasa svih z iz x takodjer skup.
(F je proizvoljna formula teorije ZF sa jednom slobodnom varijablom. Formula je konacan niz znakova koji mogu biti varijable, zagrade, logicki veznici, kvantifikatori...)
Propozicija
Neka su x i y skupovi tada je klasa {(x´,y´): x´ iz x i y´ iz y} takodjer skup. Nazivamo ga KARTEZIJEV proizvod skupova x i y i oznacavamo ga sa x x y.
Dokaz
Iz aksioma unije i i para slijedi da postoji skup xUy. Iz aksioma partitivnog skupa slijedi da postoji skup P(P(xUy)). Sada iz semi aksima separacije slijedi da je klasa
{z: z element iz P(P(xUy))}& (postoji u iz x)(postoji v iz y)(z=(u,v)) skup, tj (x x y) je skup.
Na analogan nacin moze se dokazati da propozicija vrijedi za n skupova.
Definicija
Za proizvoljni skup x sa ∩x oznacavamo klasu {z: da za svaki y iz x vrijedi y iz y} te je nazivamo PRESJEK skupa x. Ako su x i y skupovi tada x∩y oznacavamo sa ∩x.
Analogno ako je n iz N i ako su x1,..., xn skupovi tada sa x1∩x2∩...∩xn oznacavamo presjek ∩{x1,... xn}
Propozicija
Ako je x skup tada je presjek ∩x takodjer skup.
Definicija
Za proizvoljne skupove x i y sa x bez y (x\y) oznacavamo klasu {z: z iz x & z nije iz y} te je nazivamo RAZLIKA skupova x i y. Neka je U neki skup te je x pravi podskup od U tada sa xc oznacavamo klasu U(\ x)i nazivamo KOMPLEMENT skupa x u odnosu na U.
Propoticija
Za sve skupovi x i y razlika skupova x i y je skup. Ako je U skup i ako je x pravi podskup od U onda je i kompliment xc takodjer skup.
Definicija
Za svako n iz N, n ≥ 2 definisemo uredjenu n- torku ovako:
{{ x1}, { x1, x2}}
{{ x1,..., xn}, { x(n+1)}}
kako bismo mogli govoriti o Kartazijevom proizvodu funkcija, zatim o relacijama i funkcijama navodimo semu aksima separacije
Sema aksioma separacije
Ako je x skup i F neka osobina tada je klasa svih z iz x takodjer skup.
(F je proizvoljna formula teorije ZF sa jednom slobodnom varijablom. Formula je konacan niz znakova koji mogu biti varijable, zagrade, logicki veznici, kvantifikatori...)
Propozicija
Neka su x i y skupovi tada je klasa {(x´,y´): x´ iz x i y´ iz y} takodjer skup. Nazivamo ga KARTEZIJEV proizvod skupova x i y i oznacavamo ga sa x x y.
Dokaz
Iz aksioma unije i i para slijedi da postoji skup xUy. Iz aksioma partitivnog skupa slijedi da postoji skup P(P(xUy)). Sada iz semi aksima separacije slijedi da je klasa
{z: z element iz P(P(xUy))}& (postoji u iz x)(postoji v iz y)(z=(u,v)) skup, tj (x x y) je skup.
Na analogan nacin moze se dokazati da propozicija vrijedi za n skupova.
Definicija
Za proizvoljni skup x sa ∩x oznacavamo klasu {z: da za svaki y iz x vrijedi y iz y} te je nazivamo PRESJEK skupa x. Ako su x i y skupovi tada x∩y oznacavamo sa ∩x.
Analogno ako je n iz N i ako su x1,..., xn skupovi tada sa x1∩x2∩...∩xn oznacavamo presjek ∩{x1,... xn}
Propozicija
Ako je x skup tada je presjek ∩x takodjer skup.
Definicija
Za proizvoljne skupove x i y sa x bez y (x\y) oznacavamo klasu {z: z iz x & z nije iz y} te je nazivamo RAZLIKA skupova x i y. Neka je U neki skup te je x pravi podskup od U tada sa xc oznacavamo klasu U(\ x)i nazivamo KOMPLEMENT skupa x u odnosu na U.
Propoticija
Za sve skupovi x i y razlika skupova x i y je skup. Ako je U skup i ako je x pravi podskup od U onda je i kompliment xc takodjer skup.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj