roza | 04.06.2012 20:29 |
---|---|
Predmet:Osnovne racunske operacije Posmatrajmo skup {1, 2, 3,..., n, n+1, ...}. Ovaj skup brojeva nazivamo skup prirodnih brojeva i obiljezavamo ga sa N. Broj 0 (nula) nije prirodam broj. Skup N mozemo prosiriti sa nulom. Na taj nacin dobijamo skup N0=N U{0} U skupu N0 mozemo definisati operacije sabiranja i oduzimanja. Sabrati dva broja a i b znaci naci broj a+b=c Brojeve a i b nazivamo sabirci a broj c zbir ili suma. Sabiranje u ovom skupu ima sljedece osobine: Komutativnost a+b=b+a 2+3=5 3+2=5 tj 2+3=3+2 Asocijativnost a+(b+c)=(a+b)+c 2+(3+4)=2+7=9 (2+3)+4=5+4=9 2+(3+4)=(2+3)+4 Ima neutralan broj Broj n je neutralan ako i samo ako vrijedi a+n=n+a=a za sabiranje neutralan element je n=0 jer je a+0=0+a=a 2+0=2=0+2 Inverzan element za sabieanje je broj m takav da je a+m=m+a=a. U skupu N ne postoji takav broj. Oduzeti broj b od broja a znaci naci broj c takav da je a-b=c odnosno a=c+b a je umanjenik, b umanjitelj a c razlika brojeva a i b. u skupu N0 oduzimanje je definisano samo u slucaju kada je a>b. Ne moze se oduzeti veci broj od manjeg. 5-2=3 nemoguce je 3-5 U skupu N0 mozemo oduzeti svaki broj a od samog sebe,. Dibicemo broj 0 (nula) a-a=0 2-2=0, Ako nulu oduzmemo od nekog broja on se nece promjeniti. a-0=0 2-0=2 Da bi oduzimanje za slucaj a<b imalo smisla skup N0 moramo prosiriti. Prosirit cemo ga suprotnim elementima (brojevima) skupa N. Suprotni elementi pozitivnih brojeva su negativni brojevi- oni imaju predznak - . ovaj skup nazivamo skup cijelih brojeva. Oznacavamo ga sa Z. Svaki cijeli broj ima svog predhodnika n-1 i sljedbenika n+1. Mozemo uporediti cijele brojeve po velicni (n-1)<n<(n+1) -4<-2<0<2<4 Cijeli brojevi simetricno smjesteni na brojnoj osi u odnosu na nulu su suprotni brojevi. To su brojevi a i –a Modul ili apsolutna vrijednost nekog broja je udaljenost cijelog broja od ishodista (btoja 0). Uvijek je pozitivna vrijednost. Cijeli brojevi koji su simetrično smješteni na pravcu u odnosu na 0 međusobno su suprotni. Oznacava se s |z| |0|=0 |1|=1 |-1|=1 |-4|=4 |9|=9 U skupu Z za operaciju sabiranje pored komutativnosti i asocijativnosti vrijedi: Postoji neutralan element a+0=0+a=a (-2)+0=0+(-3)=(-2) 2+0=0+2=2 Zbir dva suprotna broja je nula z+(-z)=(-z)+z=0 Zbir pozitivnog i negativnog broja jednak je razlici njihovih apsolutnih vrijednosti s predznakom sabirka koji ima vecu apsolutnu vrijednost. 3+(-3)=0 7+(-5)=+(|7|-|-5|)=+(7-5)=+2=2 -9+4=-(|-9|-|4|)=-(9-4)=-5 Zbir dva negativna cijela broja je negativni broj cija je apsolutna vrijednost jednaka zbiru njihovih apsolutnih vrijednosti. (-2)+(-3)=-(|-2|+|-3|)=-(2+3)=-5 Za cijele brojeve a i b vrijedi a-b=a+(-b). Na taj način oduzimanje cijelih brojeva svodimo na sabiranje 9-5=9+(-5)=+(|9|-|5|)=+(9-5)=4 Racionalni brojevi su svi negativni razlomci, nula i pozitivni razlomci. Skup racionalnih brojeva označava se s Q. Svaki razlomak mozemo zapisati u obliku a/b, gdje je a cijeli broj, a b prirodni broj. Za svaki racionalni broj r vrijedi: a/1=a i 0/a=0 Racionalne brojeve možemo pridruživati točkama pravca. Racionalni brojevi a/b i -a/b su suprotni brojevi. Modul racionalnog broja (apsolutna vrijednost) je racionalni broj koji za brojnik ima modul brojnika, a za nazivnik modul nazivnika zadanog racionalnog broja. Razlomci razlicitih nazivnika sabiraju se tako da ih svedemo na zajednicki nazivnik. Na taj način dobijemo razlomke jednakih nazivnika kojemozemo sabrati. a/b + c/d= (ad+bc)/bd 2/4+2/3=(2*3+2*4)/3*4 =(6+8)/12=14/12 Zakonitosti koje vaze u skupu Z vaze i u Q. Razlomci razlicitih nazivnika oduzimaju se tako da ih svedemo na zajednicki nazivnik, a zatim ih oduzmemo |
roza | 04.06.2012 20:46 |
---|---|
Predmet:Re: Osnovne racunske operacije Posmatrajmo skup N0. Pomnoziti dva prirodna broja a i b znaci naci broj a*b=c Broj a je mnozenik, broj b je mnozitelj a broj c je proizvod. Mnozenik i mnozitelj jednim imenom zovu se faktori. Mnozenjem brojeva iz skupa prirodnih brojeva dobije su uvijek broj iz skupa prirodnih brojeva Za mnozenje prirodnih brojeva vrijede sljedece osobine: Broj 1 je neutralni element u odnosu na mnozenje a*1=a i 1*a=a 3*1=1*3=3 1*7=7*1=7 Ako je mnozitelj ili mnozenik 0 tada je proizvod 0. a*0=0 i 0*a=0 2*0=0 0*5=0 Komutativnost mnozenja a*b=b*a 5*6=30 6*5=30 5*6=6*5 Asocijativnost mnozenja a*(b*c)=(a*b)*c 2*(4*3)=2*12=24 (2*4)*3=8*3=24 2*(4*3)=(2*4)*3 Distributivnost mnozenja prema zbrajanju (a+b)*c=a*c+b*c (4+3)*2=7*2=14 4*2+3*2=8+6=14 (4+3)*2=4*2+3*2 Distributivnost mnozenja prema oduzimanju (a-b)*c=a*c-b*c za a≥ b (12-3)*2=9*2=18 12*2-3*2=24-6=18 (12-3)*2=12*2-3*2 Proizvod pozitivnog i negativnog cijelog broja jednak je negativnom proizvodu njihovih apsolutnih vrijednosti. a*(-b)=(-a)*b=-(a*b) 2*(-3)=-(2*3)=-6 Proizvod dva negativna cijela broja jednak je proizvodu njihovih apsolutnih vrijednosti. (-a) *(-b)=|-a|*|-b|=a*b (-5)*(-2)=|-5|*|-2|=5*2=10 Ako je u proizvod paran broj faktora proizvod je pozitivan, a ako je negativan broj faktora uproizvod je negativan. (-2)*(-3)*(-4)=-24 (-2)*(-4)*(-5)*(-2)=80 Kod mnozenja cijelih brojeva vrijede osobine: Ako je jedan faktor 0 proizvod je 0 z*0=0*z=0 5*0=0 Broj 1 je neutralan element z*1=1*z=z Primjer 7*1=7 Proizvod broja a i (-1) rezultira suprotnim brojem a*(-1)=-a 9*(-1)=-9 Racionalne brojeve oznacimo sa rn U skupu Q za mnozenje vrijede osobine Komutativnost r1*r2=r2*r1 Asocijativnost r1*(r2*r3)=(r1*r2)*r3 Distribucija mnozenja u odnosu na sabiranje i oduzimanje r1(r2±r3)=r1*r2±r1*r3 Neutralni element je 1 r1*1=1*r1=r1 Mnozenjem sa -1 dobijamo suprotan broj r1*(-1)=-r1 Mnozenjem sa nulom dobijamo 0(nulu) r1*0=0*r1=0 Inverznan element je 1/r1 r1*(1/r1)=1 Racionalni brojevi a/b i b/a su reciprocni i vrijedi a/b*b/a=1 Razlomke mozemo prosiriti a/b=a*m/b*m (b≠0 i m≠0) 2/3=2*5/3*5=10/15 i skratiti ako vrijedi a/b=a:m=b:m (b≠0 i m≠0) 10/15=10:5/15:5=2/5 Razlomci ciji su nazivnici dekadske jedinice (10,100,1000,...) zovu se decimalni razlomci. Decimalni razlomci mogu se izraziti u decimalnom zapisu kao jedna desetinka 1/10=0,1 jedna stotinka 1/100=0,01 jedna hiljadnina 1/1000=0,001 I ostale razlomke mozemo izraziti u decimalnom zapisu. To radimo prosirivanjem ili dijeljenjem brojnika s nazivnikom. 1/2=1*5/2*5=5/10=0,5 Razlomci izrazeni decimalnim zapisom zovu se decimalni brojevi. Svaki decimalni broj sastoji se od dekadskih jedinica, decimalnog zareza i decimalnih jedinica (decimala). Dekadske jedinice su lijevo, a decimale su desno od decimalnog zareza. Uporedjivanje decimalnih brojeva Od dva decimalna broja veci je onaj koji ima veci cijeli dio, a ako su im cijeli dijelovi jednaki veci je onaj koji ima vecu desetinku, pa stotinku, ... 2,7>1,7 4,5>4,3 4.22>4,21 Svaki prirodni broj moze se pisati kao decimalni broj. 3=3,0 Decimalni broj s prirodnim brojem mnozimo kao da nema decimalnog zareza, ali ju u dobivenom proizvodu napisemo na onoliko decimala koliko ima decimalni broj. 2,6*5=13,0 4,4*2=8,8 Decimalni broj s decimalnim brojem mnozimo kao prirodne brojeve, ali u proizvodu postavimo decimala koliko imaju oba decimalna broja zajedno. 1,1*1,1=1,21 Decimalni broj s dekadskom jedinicom mnozimo tako da decimalni zarez pomicemo udesno za onoliko mjesta koliko 0 ima dekadska jedinica. 4,3*10=43,0 |
roza | 04.06.2012 20:53 |
---|---|
Predmet:Re: Osnovne racunske operacije Podijeliti broj a brojem b znaci naci broj c takav da je a:b=c odmosno a=b*c Broj a je djeljenik, broj b je djelitelj, a broj c je kolicnik . Dijeljenjem dva broja iz skupa N_0 ne dobija se uvijek broj iz skupa N0. 33:8= 4->nepotpuni kolicnik s ostatkom 1 Za dijeljenje prirodnih brojeva vrijede sljedece osobine: Broj podijeljen sa 1 jednak je samom sebi a:1=a 5:1=5 Prirodni broj podijeljen sa samim sobom jednak je 1. a:a=1 7:7=1 Nula podijeljena s prirodnim brojem je 0. 0:a=0 0:12=0 Prosirivanje kolicnika a:b=c → (a*d) : (b*d)=c 6:3=2 (6*3) : (3*3)=18:9=2 Skracivanje kolicnika a:d=c → (a:b) : (d:b)=c za d≠0 32:4=8 (32:2 ) : (4:2)=16:2=8 Djeljenje s nulom nema smisla 6:0=? Ne postoji prirodni broj koji pomnozen s 0 daje 6 Dijeljenje cijelih brojeva Kolicnik negativnog i pozitivnog cijelog broja je negativni broj cija je apsolutna vrijednost jednaka kolicniku apsolutnih vrijednosti zadanih brojeva. (-a):b=-(a:b) (-6):3=-(6:3)=-2 Kolicnik dva negativna cijela broja je pozitivan broj cija je apsolutna vrijednost jednaka kolicniku apsolutnih vrijednosti djeljenika i djelitelja. (-a) : (-b)= |-a| : |-b|=a:b (-4) : (-2) |-4| : |-2|=4:2=2 Za cijeli broj a vrijede osobine: Djeljenjem sa 1 broj se ne mijenja z:1=z 5:1=5 (-3):1=-3 Djeljenjem sa -1 rezultira suprotnim brojem a: (-1)=-a 7: (-1)=-7 Djeljenjem broja sa samim sobom dobije se 1. z:z=1 8:8=1 Nula podijeljena s cijelim brojem je 0 0:z=0 0:2=0 U skupu Z ne postoji inverzan element za mnozenje. Da bi on postojao i da bi bilo definisano dijeljenje na cijelom skupu brojeva skup Z prosirujemo u skup racionalnih brojeva Q. Dijeljenje racionalnih brojeva Djeljenje racionalnih brojeva svodi se na mnozenje djeljenika s reciprocnom vrijednoscu djelitelja. r1:r2=r1*(1/r2) a/b:c/c=a/b*d/c 2/3:4/5=2/3*5/4=2*5/3*4=10/12 Kilicnik mozemo zapisati kao dvojni razlomak a/b:c/d=(a/b)/(c/d) (4/5)/(2/3)=4*3/2*2=12/10 Dijeljenje decimalnih brojeva Decimalni broj dijeli se s prirodnim brojem kao da nema decimalnog zareza , ali se u kolicniku naznacava decimalni zarez kad se zavrsi s dijeljenjem cijelog dijela djeljenika. 15,5:5=3,1 Decimalni broj djeli se s decimalnim brojem tako da djeljenik i djelitelj pomnozimo s dekadskom jedinicom koja ima toliko nula koliko djelitelj decimala. 7,842:2,4=78,42:24=3,2675 Decimalni broj dijeli se s dekadskom jedinicom tako da mu decimalni zarez pomicemo ulijevo za onoliko decimalnih mjesta koliko nula ima ta dekadska jedinica. 423.10:10=42.310 51,24:100=0.5124 Jos neke osobine dijeljenja brojeva Visekratnici nekog broja a su svi brojevi oblika n*a Visekratnici broja 5 su :5, 10, 15, 20,.. Zajednicki visekratnic i dva ili vise brojeva su brojevi koji su djeljivi s svim zadanim brojevima. Visekratnici broja 5 su:5, 10, 15, 20,.. Visekratnici broja 4 su: 4,8, 12, 16,... Zajednicki visekratnici su: 20, 40, ... Najmanji zajednicki visekratnik dvaju ili vise brojeva je najmanji prirodni broj koji je djeljiv sa svim zadanim brojevima. Najmanji zajednicki visekratnik od brojeva 4 i 5 je 20 krace pisemo V(4,5)=20 Najmanji zajednicki visekratnik dva relativna prosta broja jednak je njihovom proizvodu V(3,2)=3*2=6 Najmanji zajednicki visekratnik dva ili vise brojeva racuna se na nacin da se zadani brojevi rastave na proste faktore, a zatim pomnoze zajednicki faktori i oni koji nisu zajednicki. Ako zadani brojevi imaju vise jednakih faktora tada se uzimaju faktori od onog broja koji ih ima najvise. 6=2*3 12=2*3*2 18=2*3*3 V(6,12,18)=2*3*2*3=36 Ako su dva broja medjusobno djeljiva onda je manji od njih njihov najveci zajednicki djelitelj, a veci od njih njihov najmanji zajednicki visekratnik. D(10,60)=10 V(10,60)=60 Zbir i razlika visekratnika nekog broja je visekratnik tog broja Za broj 5 vazi 20+30=50 40-20=20 Za broj 7 vazi 21+28=49 28-21=7 Ako su dva broja djeljiva nekim brojem onda jsu njihovi zbir i razlika djeljivi tim brojem Brojevi 39 i 27 djeljivi su sa 3 39+27=66 ... djeljiv sa 3 39-27=12 djeljiv sa 3 55 i 20 djeljivi sa 5 55+20=75... djeljiv sa 5 55-20=35 ...djeljiv sa 5 Ako je bar jedan od faktora u proizvodu djeljiv nekim brojem onda je i proizvod tih brojeva sjeljiv tim brojem. 51 djeljiv sa 3 51*2=102 ... djeljiv sa 3 |