roza 05.10.2010-08:55
Subject: Pitagorina teorema

Zbir povrsina kvadrata konstruisanih nad katetama jednak je povrsini kvadrata konstruisanog nad hipotenuzom



a2 +b2=c2
c=( a2+b2)1/2
a2=c2-b2
b2=c2-a2

Ako vam je ovo tesko zapamtite pjesmicu:
Kvadrat nad hipotenuzom to zna svako dijete
jednak je zbiru kvadrata nad obe katete.

roza 05.10.2010-08:59
Subject: Re: Piatagorina teorema

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA KVADRAT

P=a2=(d2)/2
O=4a
d=a(2)1/2
r=a/2
R= [a(2)1/2]/2

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA PRAVOUGANIK

Pravougaonik je paralelogram sa jednakim dijagonalama i pravim unutrasnjim uglovima. Kada se povuce jedna dijagonala dobiju se dva pravougla trougla.

d2 =a2 + b2
O=2a+2b
P=a∙b

roza 05.10.2010-09:15
Subject: Re: Piatagorina teorema

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI TROUGAO

Jednakokraki trougao je trougao sa jednakim kracima. Kada se povuce visina iz tjemena C dobiju se dva pravougla trougla.

P=(aha)/2
P=(bhb)/2
O=a+2b

Pitagorina teorema za trougao ACD:
b2=(a/2)2+h2

a odavde se dobija visina ha :
h_a=[ b2-(a2)/4]1/2

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOSTRANICNI TROUGAO

Jednakostranicni trougao je trougao sa jednakim stranicama uglovima.
Iz Pitagorine teoreme za trougao ACD dobija se visine trougla:

P=[a2 * (3)1/3]/3
O=3a
R=2h/3
r=h/3

roza 05.10.2010-09:20
Subject: Re: Piatagorina teorema

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA ROMB

O=4a
P=a∙h

Primjenom Pitagorine teoreme na trougao AOB: gdje su AO i BO
katete a AB hipotenuza dobija se
a2=(d1/2)2+(d2)2
Zadatak 1

Izracunaj duzinu hipotenuze pravouglog trougla cije su katete a=7cm,b=24cm.
a=7cm
b=24cm
c=?
c2= 72 +242
c2=49+576
c2=625
c=25cm

roza 05.10.2010-09:36
Subject: Re: Piatagorina teorema

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA TRAPEZ
Trapez je cetvorougao sa jednim parom paralelnih stranica koje se zovu osnove i sa jednim parom ne paralelnih stranica koji se zovu kraci.

Obim jednakokrakog trapeza:
O=a+b+2c

Srednja linija trapeza:
m=(a+b)/2
P=mh
P=[(a+b)/2]*h
c2=h2+x2
x=(a-b)/2

roza 26.02.2011-21:32
Subject: Re: Pitagorina teorema

Iz istorije

starogrcka civilizacija



(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2= n4+2n2+1=(n2+1)2


IX vijek
Neka su data dva kvadrata kao na slici



Mozemo ga presloziti u kvadrat


roza 26.02.2011-21:38
Subject: Re: Pitagorina teorema

Bhaskara (Baskara) rodjen je 1114 godine.
Nad hipotenuzom AB trougla ABC konstruisemo kvadrat ABA1B1.


Povucemo prave A1B3 i B1B2 tako da je A1B3 paralelno sa BC i B1B2 paralelno sa AC.
Prava AC presjeca pravu A1B3 u C1.
Kvadrat nad hipotenuzom sastoji se od kvadrata CC1B2B3 i 4 pdudarna trougla. Stranica kvadrata jednaka je razlici kateta a-b (a=BC i b=AC). Imamo

c2=(a-b)2-4ab/2 =a2+b2

roza 27.02.2011-13:26
Subject: Re: Pitagorina teorema

Induski dokaz ili „stolica mlade“



Nad hipotenuzom pravouglog trougla konstruise se kvadrat ABDE. Iz D povuce se normala DC1 na BC. Tako dobijemo pravougli trougao BDC1 podudaran sa datim trouglom ABC ( imaju jednke AB=BD i ostre uglove kod B i D ulovi sa normalnim kracima).
Trougao ABC zarotirajmo za 90o u A suprotnom smjeru rotacije kazaljke na satu oko tacke . doci ce u polozaj AEA1.
TrougaoBDC1 zarotirajmo za 90o u suprotnom smjeru rotacije AD kazaljke na satu oko tacke . doci ce u polozaj EDC3. Tacke A1, E, C3 su kolinearne. Produzavanjem katete BC do C2 na A1E dobijamo kvadrat ACC2A_1 nad AC i kvadrat C1C2C3D nad katetom DC3=BC. Sad imamo jednakost za povrsine:
ABDE=ACC1DC3A1=ACC2A1+C1C2C3D
Tj zbir kvadrata nad katetama jednak je kvadratu nad hipotrenuzom

roza 27.02.2011-13:28
Subject: Re: Pitagorina teorema

1769 godine njemacki matematicat iznio je sljedeci dokaz




roza 27.02.2011-13:31
Subject: Re: Pitagorina teorema

1906 godine Epstajn (Epstein) je dao sljedeci dokaz.
Kvadrate nad katetama i hipotenuzom podijelicemo
na trougove 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, i 8 kao na slici.




Dokaz od Anerizija (Annairizi) potice iz 900 godine


roza 27.02.2011-19:33
Subject: Re: Pitagorina teorema

Havkins (Hawkins) je 1909. godina izveo sljedeci dokaz





roza 27.02.2011-19:35
Subject: Re: Pitagorina teorema



roza 18.06.2011-10:24
Subject: Re: Pitagorina teorema

Zadatak 1

roza 25.06.2011-19:38
Subject: Re: Pitagorina teorema

Citat od roza:
Zadatak 1

posmatrajmo zadane trouglove. brojevi upisani u njih su Pitagorine trojke. Na osnovu toga zakljucujemo da brojevi x i y moraju zadovoljiti uslov

x2 + y2 =400
Kako je
256+144=400
odnosno
162+122=400 proizlazi da je
x=16 i y=12

roza 04.11.2011-19:46
Subject: Re: Pitagorina teorema

kako konstruisati pravougi trogao cije su katete proizvoljne duzine a hipotenuza korijen iz 2, 3,4, 5, 6, ...