Centar za edukaciju-BiH

Predmet:Re: Elementarna algebra

---

Mnozenje brojevima od 12 do 19 vrsi se na isti nacin.

Pomnozimo cifre jedinica i zapisemo dobijeni broj.
Ako je dvocifren, cifur desetica prenosimo.
Sada pomnozimo broj desetica broja kojeg mnozimo sa cifrom jedinica broja kojim mnozimo i dodamo broj koji mnozimo

52*17=
2*7=14 (4 i prenosimo 1)
7*5+52+1=35+52+1=88
Odnosno
52*17=884

84*16=
4*6=24 (4 prenosimo 2)
8*6+84+2=48+84+2=134
Odnosno
84*16=1344

113*12=
3*2=6
11*2+113=22+113=135
113*12=1356

Brojem 50 mnozimo tako da broj koji mnozimo podijelimo sa 2 i pomnozimo sa 100

126*50=(126/2)*100=63*100=6300
321*50=(321/2)*100=160,5*100=16050
Ili
321/2=160 i ostatak je 1
Ako je ostatak 1 posljednje 2 cifre su 50
321*50=160*100+50=16050

Brojem 75 mnozimo tako da ¾ broja kojeg mnozimo pomnozimo sa 100.

84*75= 84*3/4*100=21*3*100=63*100=6300
Ili
84:4=21
21*3=63
63*100=6300

123*75
123/4=30 ( ostatak 3)
123*75=30*3*100+ (3*75)=9000+225=9225

Mnozenje sa 101 vrsi se na sljedei nacin
53*101=5353
46*101=4646
453*101= (4+453)*100+53=457*100+53=45753
998*101=(998+9)*100+98=1007*100+98=100798

Mnozenje brojevima slicnim broju 101 odnosno sa 201, 202, 203... odnosno oblika 100a+b

23*203=
23*2=46
23*3=49
23*203=4649

---

Predmet:Re: Elementarna algebra

---

Mnozenje dva broja vecih od 100, ali u neposrednoj blizini broja 100(100+a) (100+b)= 10000+100a+100b+ab= 100(100+a+b)+ab

Pomnozimo cifre jedinica a, b.Dobijeni proizvod cini posljednje 2cifre
Saberemo cifre jedinica. Zbir predstavlje cifru stotica

104*102=[2+4=6; 2*4=8]=10608

106²=[6*6=36; 6+6=12]=11236
jer je
10000+1200+36=11236

---

Predmet:Re: Elementarna algebra

---

Prirodni brojevi a i b cine prijateljski par brojeva ako je zbir pravih djelitelja broja a (onih koji su manji od a) jednak broju b i istovremeno zbir pravih djelitelja broja b jednak je broju a.

Najmanji je (220, 284). Pravi djelitelji broja 220 su: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, a njihov zbir je 284. Zbir pravih djelitelja broja 284 je jednak 220.

Poznati francuski matematiar Ferma nasao je 1636. godine drugi par prijateljskih brojeva (17 296, 18 416). Zajedno sa Dekartom, Ferma je otkrio pravilo za formiranje takvih parova.

U 18. vijeku Ojler je objavio spisak od 64 para prijateljskih brojeva, medju kojima su dva bila pogresna. Sesnaestogodisnji Italijan Paganini nasao je 1867. godine par prijateljskih brojeva (1 184, 1 210) koji su daleko manji od Fermaovih.

Uz pomoc racunara danas je pronadjeno vise od 600 prijateljskih parova. Prvo mjesto na listi zauzima (220,284), iza njega je Paganinijev (1 184, 1 210), zatim dolazi (2 620, 2 924) itd. Fermaov par je tek na 8. mjestu.

Svim poznatim parovima prijateljskih brojeva, oba su parna ili, sto je mnogo redje, oba neparna. Nije poznato da li postoji mjesovit par, sastavljen od jednog parnog i jednog neparnog broja. Nije poznata formula za sve prijteljske parove, niti se zna da li ih ima konacno ili beskonacno mnogo.

220 i 284
1184 i 1210
2620 i 2924
5020 i 5564
6232 i 6368
10744 i 10856
12285 i 14595
17296 i 18416
63020 i 76084
66928 i 66992
67095 i 71145
69615 i 87633
79750 i 88730
100485 i 124155
122265 i 139815
122368 i 123152
141664 i 153176
142310 i 168730
171856 i 176336
176272 i 180848
185368 i 203432
196724 i 202444
280540 i 365084
308620 i 389924
319550 i 430402
356408 i 399592
437456 i 455344
469028 i 486178
503056 i 514736
522405 i 525915
600392 i 669688
609928 i 686072
624184 i 691256
635624 i 712216
643336 i 652664
667964 i 783556
726104 i 796696
802725 i 863835
879712 i 901424
898216 i 980984

---

Predmet:Re: Elementarna algebra

---

Uredjenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) zovemo Pitagorina trojka ako su x, y katete, a z hipotenuza nekog pravouglog trougla, tj. ako vrijedi

x² + y² = z²

Ako su x, y, z relativno prosti, onda kazemo da je (x, y, z) primitivna Pitagorina trojka. (Takav trougao zovemo (primitivni) Pitagorin trougao.

U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojki tacno jedan od brojeva x, y je neparan.

Postoji jedinstvena Pitagorina trojka

(n - 1,n,n + 1), n \equiv N,n > 1...

Dokaz. Prema Pitagorinom teoremu imamo:

(n-1)² + n² = (n + 1)².

Primjenjujuci osnovne operacije imamo

n²-2n+1+n²=n²+2n+1

n² = 4n, tj. n = 4.

Jedinstvena Pitagorina trojka oblika

(n-1, n, n + 1) je (3, 4, 5).

Sve primitivne Pitagorine trojke (x, y, z) u kojima je y paran, date su formulama

x = m²-n², y = 2mn, z = m² + n²

gdje je m > n i m, n su relativno prosti prirodni brojevi razlicite parnosti.

http://bs.matematika.wikia.com/...ine_trojke

---

Predmet:Re: Elementarna algebra

---

Z a trojku (a, b, c) prirodnih brojeva kazemo da je Heronov ako trougao cije stranice imaju duzine a, b i c ima cjelobrojnu povrsinu. Smatracemo podudarnim Heronove trojke koje se dobijaju jedna iz druge permutacijom
Neki primjeri Heronovih trojki su: (3, 4, 5), (5, 5, 6), (13, 14, 15), (11, 13, 20)

http://bs.matematika.wikia.com/...ove_trojke

---

Predmet:Re: Elementarna algebra

---

Sve primitivne Pitagorine trojke (x, y, z), u kojima je y paran (dakle, x i z neparni) dobijene su pomoću formula

x=kl

y=(k²-l²) /2

z=(k²-l²) /2

za k > l, i (k, l) su parovi svih neparnih relativno prostih prirodnih brojeva . Svaka primitivna trojka (x, y, z) gdje je y paran je na ovaj način dobijena samo jednom.

Dokaz.

Jednačinu

x²+y²=z²

transformišemo u oblik

x² = (z + y)(z-y)

Definišimo brojeve u = z + y i v = z-y, uz pretpostavku teoreme z je neparan, a y paran. Tada su u i v neparni. Kako su y i z relativno prosti, a z je neparan, u i v su relativno prosti.

Iz jednačine

x² = (z + y)(z-y)=> x^{[/sup]2 = uv, postoje relativno prosti (neparni) prirodni brojevi k, l takvi da je u = k[sup]2}, v = l^2. Tako dobijamo tražene jednačine
x=kl

y=(k²-l²) /2

z=(k²-l²) /2

Jedan od mogućih pravilnih redosljeda dobijanja svih primitivnih Pitagorinih trojki pomoću tih formula dobijemo rednim uzimanjem neparnih brojeva 3, 5, 7, 9 . . . za k, i za svaki od njih sve neparne brojeve za l, koji su manji od k i relativno prosti s njim.
Kategorije:

---

Predmet:Re: Elementarna algebra

---

Zanimljive Pitagorine trojke su i one čije su katete susjedni brojevi. Uošsteno bismo ih mogli zapisati (x, x + 1, z) Pitagorinih trojki oblika (x, x + 1, z) ima beskonačno mnogo.

Dokaz

Neka su x i z prirodni brojevi, te neka je (x, x + 1, z) Pitagorina trojka. Tada postoji Pitagorina trojka (3x+2z +1, 3x+2z +2, 4x+3z +2)

Pokažimo da je ova trojka Pitagorina.

(3x + 2z + 1)^2 + (3x + 2z + 2)^2 = 18x^2 + 24xz + 8z^2 + 18x + 12z + 5

x^2 + (x + 1)^2 = z^2 => 2x^2 + 2x + 1 = z^2 =>

(3x + 2z + 1)^2 + (3x + 2z + 2)^2 = 16x^2 + 24xz + 9z^2 + 16x + 12z + 4= (4x + 3z + 2)^2

(3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2) je Pitagorina trojka.

Iz svake Pitagorine trojke (x, x+1, z), kod koje su katete susjedni brojevi, možemo dobiti Pitagorinu trojku

f(x, x + 1, z) = (3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2)

s dužim stranicama, čije su katete također susjedni brojevi. Za trougao (3, 4, 5) na taj način dobijemo trougao sa stranicama dužine (20, 21, 29).

(3* 3 + 2 * 5 + 1 = 20, 21, 4 * 3 + 3 * 5 + 2 = 29).

---