Centar za edukaciju-BiH



#11 12.03.2011 19:05
roza Van mreze
Super Moderator
Registrovan od:06.01.2009
Postovi:641


Predmet:Re: Algebra u geometriji

Kubnu jednacinu sveli smo na na oblik u kome se ne pojavljuje kvadrat, vec samo kub , linearni i slobodni clan. Ovim se bitno smanjuje broj kombinacija za tipove sa svim pozitivnim koeficijentima, pa umjesto cetrnaest, sada imamo samo cetiri tipa koja nisu prethodno rjesena:

Ovakvo svodjenje al-Hajam nije mogao da izvede zbog nepostojanja prikladne matematicke simbolike, ali nama je ovom prilikom korisno da skratimo postupak u cilju izbjegavanja mogucnosti da nam zbog velikog broja tipova kubnih jednacina izmaknu najvaznije al-Hajamove ideje i metodi.
Pokazuje se da je za nalazenje svih korjena svih kubnih jednacina potrebno pronaci postupak za resavanje tipova 1 - 3, sto je dovoljno da bi se resio i navedeni tip 4. Pre nego sto razmotrimo resenje prvog od ovih tipova, pomenimo samo da je al-Hajam gajio nadu da ce buduce genaracije matematicara mozda biti u stanju da resavaju jednacine stepena vecih od tri.

KARDANOVI OBRASCI

Poslije pregleda najvaznijih dostignuca u arapskoj algebarskoj skoli, moze izgledati da se sada udaljujemo od teme. Medjutim, rezultati italijanskog matematicara Djirolama Kardana (Girolamo Cardano, XVI vek) jasno se nastavljaju na al-Hajamove metode rjesavanja kubnih jednacina i pokazuju kako je u arapskoj matematici indirektno utemeljena teorija kompleksnih brojeva.

Mada se vecina istorijskih izvora slaze da al-Hajam nije otkrio negativne korjene kubnih jednacina (sto se pripisuje Kardanu), ti izvori zanemaruju cinjenicu da su njegovi postupci sasvim dovoljni za nalazenje tih korjena. Kardanovi algebarski obrasci objavljeni su u djelu Artis Magnae 1545. godine i smatraju se prvim opstim rjesenjem kubnih jednacina.

e iznenadjuje to sto je Kardano koristio samo pozitivne koeficijente i sto njegova klasifikacija kubnih jednacina obuhvata trinaest tipova kao kod al-Hajama, izuzimajuci jednacine svodljive na kvadratne, kao i onu x3=c

Za svaki tip posebno Kardano je izveo geometrijske dokaze. Razjasnili smo kako se dolazi do jednacine x^3+ax+b=0, pri cemu cemo sada dopustiti da a i b budu negativni ili pozitivni. Kardanova smjenaje oblika

"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#12 12.03.2011 19:09
roza Van mreze
Super Moderator
Registrovan od:06.01.2009
Postovi:641


Predmet:Re: Algebra u geometriji
Buduci da u to vrijeme nije bila izgradjena teorija kompleksnih brojeva, Kardanov zakljucak je bio da navedeni postupak nije prikladan za ovu jednacinu, kao i sve one ciji je kub jedne trecine koeficijenta uz x veci od kvadrata jedne polovine konstante u jednacini.
Danas znamo da svaki kompleksan broj ima tri kubna korjena, pa je posljednja jednakost viseznacna. Vazna je cinjenica da su Kardano i drugi matematicari tog vremena poceli da ispituju moguci smisao kompleksnih brojeva, pa je time zapoceta izgradnja teorije kompleksnih brojeva.

DAVID NJ. HENDERSON

O istoriji razvoja matematicke misli malo se govori u savremenom obrazovnom procesu. Matematika u svom sadasnjem vrlo razvijenom, ali i razudjenom obliku, posjeduje sredstva koja joj omogucavaju jos veci zamah. To nije uvijek pristupacno mnogim mladim talentovanim ljudima jer ih sputava u smislu intuitivnog i kreativnog razmisljanja, a usmjerava ih na ucenje za njih do tada nepoznatog i novog - matematickog - jezika. Upravo je matematika primjer nauke koja bi trebalo da se kloni bilo kakvog sablona i ustaljenih nacina misljenja. Takve seme mogu da se otklanjaju, izmedju ostalog, i stalnim pogledima unazad - u djela nasih daljih i blizih prethodnika jer upravo su oni temelji koji drze danasnje matematicko zdanje.

Mozemo se sloziti sa Henderson-om da je od velike vaznosti poklanjanje paznje znacenju pojmova u matematici. Ta znacenja ne treba uzimati onakvima kakva su po sebi, vec treba vrlo pazljivo osluskivati i na kreativan nacin razjasnjavati krije li se u tom pojmu jos nesto cega nismo svjesni.
Primer za takve napore imamo u trenucima kada al-Horezmi naslucuje negativne brojeve kroz termin nijemi korjen (jizr asam) ili kada Kardano zalazi u teoriju kompleksnih brojeva nedoumicama o nepodesnosti svog obrasca za rjesavanje kubnih jednacina. Drugi nacin za ispitivanje znacenja pojmova bilo bi proucavanje matematicara iz starine i stalno postavljanje pitanja:
Zasto su to oni tako uradili?
Ili
Zasto to nisu tako uradili?

Na primer, zasto su rani algebristi toliko insistrirali na geometrijskim dokazima? Izgleda ponekad da su matematicari minulih vijekova bili mnogo svjesniji kompaktnosti i chelovitosti sveukupne matematike neko sto smo mi to danas.

Tako je u modernoj matematici data prednost analitickim nad starim geometrijskim dokazima, bez obzira sto su analiticki dokazi zasnovani na 150 godina starim Kosijevim predstavama i na aksiomi potpunosti. Jasno je, naravno, da je za vecinu matematicara intuitivno shvatanje realnih brojeva zasnovano na geometrijskoj realnoj pravoj. Henderson ovde postavlja vrlo prosto i zanimljivo pitanje - kako da shvatimo npr. mnozenje, a*b? Odmah je jasna geometrijska interpretacija preko povrsine pravougaonika, dok u uhodanom analitickom razumevanju mozemo imati dosta problema ako mnozimo dva beskonacna neperiodicna decimalna razlomka, kao npr. u slucaju

Ponekad u primjenama treba, kako svjedoci Henderson, dati prednost geometrijskim dokazima. Razlog tome moze biti npr. sto rezultat tog metoda nije broj, vec slikovit fizicki objekat, za cije nalazenje koristimo svoje ideje, a ne puku tehni*****unanja. Zbog toga geometrijski metod moze da bude srazmjerno brzi od numerickog. Posto je rjesenje fizicke prirode, ne moramo da brinemo o stepenu tacnosti rjesenja, a i neupucenima u problem metodoloski je mnogo lakse objasniti kako se do resenja doslo.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#13 15.02.2012 12:18
Sprečo Van mreze
Clan
Registrovan od:02.01.2009
Postovi:44


Predmet:Re: Algebra u geometriji
Džaba meni moje uvjerenje ako ti ne prihvataš to uvjerenje, koje glasi:
Ti bi daleko bolje, temeljitije i uspješnije od mene mogla obraditi logiku zakonitosti i povezanost između -
Algebarskih zapisa geometrijskog opisa događanja iz fizičke stvarnosti - što sam nazvao "Relativistička algebra"!
Da mi je dočekati da "relativistička algebra" netko pametniji od mene razradi za mog života!
Ovaj post je ureden 1 puta. Posljednja izmjena 15.02.2012 12:23 od strane Sprečo. ↑  ↓

#14 23.10.2013 19:20
roza Van mreze
Super Moderator
Registrovan od:06.01.2009
Postovi:641


Predmet:Re: Algebra u geometriji
Apolonijev problem kruznice koja dodiruje tri zadane kruznice sastoji se u konstrukciji te kruznice. Ovaj problem je poslednji od deset, gde se trazi ista konstrukcija ako su zadate

3 tacke

2 tacke i prava

tacka, prava i kruznica; itd.

Dva od tri problema je resio Euklid, a ostale Apolonije. Samo njegovo djelo o tom problemu nije sacuvano pa ne znamo tacno kako ga je rjesio. Jedino zahvaljujuci Paposu koji pominje to djelo, znamo da je ono postojalo. Tim problemom su se bavili i mnogi matematicari kao sto su Viete u XVI vijeku, Njutn u XVII vijeku. Sa pretpostavkom da su zadate tri kruznice koje leze jedna van druge, obelezene brojevima I, II, III, onda postoji 8 mogucih resenja:

I, II, III unutar trazene kruznice

I, II unutar trazene kruznice, a III izvan trazene kruznice

I, III unutar trazene kruznice, a II izvan trazene kruznice

II, III unutar trazene kruznice, a I izvan trazene kruznice

I unutar trazene kruznice, a II, III izvan trazene kruznice

II unutar trazene kruznice, a I, III izvan trazene kruznice

III unutar trazene kruznice, a I, II izvan trazene kruznice

I, II, III izvan trazene kruznice



Da bi dosli do trazene konstrukcije zadatak cemo pojednostaviti tako sto cemo traziti onu kruznicu koja prolazi kroz zadatu tacku i dodiruje dvije zadate kruznice. Ako se rijesi ovaj zadatak, onda se jednostavnom konstrukcijom (sl. 1, sl. 2) moze rijesiti problem u cjelini.

Smanjimo li najmanju od zadatih kruznica na tacku, i smanjimo tj. povecamo za njen poluprecnik r poluprecnike preostalih kruznica, dobijamo jednostavan problem. Rjesenje tog problema je kruznica, ciji se poluprecnik razlikuje od poluprecnika trazene kruznice, i to za r.

Izvodimo nekoliko pomocnih stavova:



STAV 1
Potencija tacke T s obzirom na kruznicu k jednaka je

AT * BT = CT2.

To znaci da je za sve sjecice iz tacke T proizvod odsjecaka od tacke T do presjeka sjecice i kruznice konstantan i jednak kvadratu duzine tangente iz tacke T do dodira sa kruznicom.

Taj proizvod se zove potencija tacke T s obzirom na kruznicu k.

Obrnuto iz

CT2 = AT * BT

dobijamo da je C tacka dodira kruznice i prave koja prolazi kroz tacke T i C.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#15 23.10.2013 19:26
roza Van mreze
Super Moderator
Registrovan od:06.01.2009
Postovi:641


Predmet:Re: Algebra u geometriji


STAV 2

Konstrukcija kruznice k1 koja dodiruje kruznicu k, a sadrzi tacke A i B.

dokaz:

Konstruisemo kroz tacke A i B bilo kakvu kruznicu k2, koja sijece kruznicu k u dvije razne tacke R i S. Zajednicka sjecica kroz R i S sijece pravu, odredjenu tackama A i B u T.

Konstruisemo tangentu t iz tacke T na kruznicu k. Ona mora biti ujedno i tangenta trazene kruznice k1 i to zato sto je: AT * BT = RT * ST = DT2

(D ATS ~ D BTR),

pa D mora biti tacka dodira tangente t i kruznice koja sadrzi tacke A i B pa je stoga k1 trazena kruznica



STAV 3

Prava koja sadrzi tacke dodira kruznice k3 sa kruznicama k1 i k2 i prolazi kroz srediste slicnosti kruznica k1 i k2.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#16 23.10.2013 19:47
roza Van mreze
Super Moderator
Registrovan od:06.01.2009
Postovi:641


Predmet:Re: Algebra u geometriji
Algebarski nacin rjesavanja problema



Data su tri kruga k1, k2 i k3. Apolonijev problem se sastoji u tome sto treba konstruisati lenjirom i sestarom sve moguce krugove k koji dodiruju sva tri kruga k1, k2 i k3. Jedan od mogucih resenja dat je na slici 8. Koristeci se prethodnim znanjima, pokazacemo sve moguce krugove k, konstruisane lenjirom i sestarom. Ako je dat krug k1 sa centrom O1, poluprecnika r1 i k sa centrom O i poluprecnika r, postoje tri mogucnosti pod kojima se dva kruga dodiruju:



krugovi se dodiruju sa spoljne strane i imaju zajednicku tangentu, tada vazi:

OO1=r+r1


krugovi se dodiruju sa unutrasnje strane tj. krug k1 lezi unutar kruga k, tada vazi:
OO1=r-r1

krugovi se dodiruju sa unutrasnje strane tj. krug k lezi unutar kruga k1, tada vazi:

OO1=r1-r

Krace receno, krugovi k i k1 se dodiruju ako i samo ako:

OO1=r +r1
OO1=r -r1

Da bi ovo povezali sa algebrom, uzecemo centre da su

O(x,y) i O1(x1,y)

pa je

(x-x1)2+(y-y1)2=(r + r1)2

(x-x1)2+(y-y1)2=(r - r1)2

Sada se moze postaviti Apolonijev problem. Krug k dodiruje sva tri kruga k1, k2, k3 ako svaka od jednakosti:

(x-x1)2+(y-y1)2=(r + r1)2 ili
(x-x1)2+(y-y1)2=(r - r1)2

(x-x2)2+(y-y2)2=(r + r2)2 ili
(x-x2)2+(y-y2)2=(r - r2)2

x-x3)2+(y-y3)2=(r + r3)2 ili
(x-x3)2+(y-y3)2=(r - r3)2
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

Stranice (2):1,2

Srodne teme


Sva vremena su GMT +01:00. Trenutno vrijeme: 7: 50 am.