Bosna i Hercegovina



#1 05.06.2011-05:19
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Vietove formule
Izraz
Pn (x)=an xn+an-1 xn-1+⋯+a1x+a0 gdje su
(an) konstante i n≥1 za an≠0 i n>1 je POLINOM n-tog stepena po x.
Za an=an-1=...=a1=o, a0=0 polinom Pn je polinom nultog stepena.
Ako je an=an-1=...=a1=o, a0=0 odnosno Pn≡0 onda je Pn nula polinoma.

Polinomi
Pn (x)=an xn+an-1) xn-1+⋯+a1 x+a0 i
Qm (x)=bm xm+bam-1 xm-1+⋯+b1 x+b0 su jednaki samo ako su istog stepena i ako su im koeficienti jednaki, tj m = n i ai = bi (1 ≤ i ≤ n).
Nula polinoma Pn je x0 za koje je Pn(x0)=0
Pn(x)=0 jeALGEBARSKA JEDNACONA n-tog stepena cija su rjesenja nule polinoma Pn(x).
Za svaka dva polinoma Pn (x) i Qm (x) n ≥ m postoje polinomi Sk(x) i
Rl(x) takvi da je Pn(x) = Qm(x) * Sk(x) + Rl(x) pri cemu je l < m ili je Rl(x) ≡ 0, a k + m = n.
Polinom Sk(x) je rezultat diobe polinoma Pn(x) i polinomom Qm(x) a Rl(x) je ostatak pri diobi polinoma Pn(x) polinomom Qm(x).

Bezuov stav
Pri diobi polinoma Pn(x) polinomom prvog stepena (x-a) ostatak je jednak P(a).
Posljedica Bezuovog stava:
Ako je a nula polinoma, onda je polinom Pn(x) djeljiv polinomom (x-a) bez ostatka, pa je Pn(x) = anQn-1(x)* (x-a)
Ako su x1; x2, ..., x nule polinoma, tada je
Pn(x) = an(x- x1)(x- x2)... (x- xn)
Ako je
Pn(x) = an(x- a)k * Qm(x) tada je a nula k-tog reda polinoma.

Primjer
Za polinom
f(x) = x3 - 5x2 + 8x - 4 = (x . 2)2(x - 1)
x = 2 je nula drugog reda, a x = 1 nula prvog reda.
Za polinom
f(x) = x4 + 2x2 + 1 = (x - i)[/sup]2(x + i)[sup]2
x = i i x = -i su nule drugog reda.

Osnovni stav algebre
Svaki polinom reda n ≥ 1 ima n (realnih ili kompleksnih, ne obavezno razlicitih medju sobom) nula x1; x2, xn.
Odnosno nula k-tog reda racuna kao k (istih) nula.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#2 05.06.2011-06:11
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Vietove formule
Izmedju koeficjenata polinoma { ai}i nula polinoma {xk} vaze jednakosti:
x1 + x2 + ... + xn-1 + xn = -an-1/an
(x1x2 +x1x3 +...+x1xn)+
(x2x3 +x2x4 +...+x2xn)+...+xn-1xn = an-2/an
...
x1x2 ... xn = (-1)n a0/an

Vietove formule za polinom drugog stepena
P(x) = ax2+bx+c
cije su nule x1 i x2 glase:
x1 + x2 = -b/a
x1x2 = c/a
a za polinom treceg stepena P(x) = ax3 + bx2 + cx + d cije su nule x1, x2 i x3:
x1 + x2 + x3 = -b/a
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a
x1x2x3 = -d/a.

Ako su svi koeficienti {ai} polinoma Pn(x) realni, a polinom ima kompleksnu nulu α + iβ reda k, tada je α-iβ kompleksna nula tog polinoma reda k.
Kod polinoma sa realnim koeficientima, kompleksne nule se javljaju u parovima: kao kompleksan broj z i njemu konjugovano kompleksan broj z´.
Svaki polinom n-tog stepena sa realnim koeficientima moze da se faktorizuje, odnosno napise u obliku

Pn(x) = an(x-x1)k1(x-x2)k2 ...(x-xi)ki(x2+b1x+c1)l1(x2+b2x+c2)l2... (x2+bjx+cj)lj

za k1 + k2 + ... + ki + 2(l1 + l2 + ... + lj = n pri cemu su an, x1, x, ... , xi, b1, b2, ..., bj , c1, c2,..., cj
realni brojevi, a polinomi x2 + bjx + cj nemaju realnih nula. Svakoj nuli k-tog reda a odgovarace jedan faktor oblika (x - a)k a svakom paru konjugovano kompleksnih nula k-tog reda α±iβ faktor oblika (x2 +bx+c)k
gde su α±iβ kompleksna rjesenja kvadratne jednacine x2 + bx + c = 0.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#3 05.06.2011-06:14
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Vietove formule
Zadatak 1

Naci polinom S(x) i R(x) tako da je
P(x) = S(x) *Q(x) + R(x)
gdje je P(x) = x4 + 3x3 + x - 1 i Q(x) = x2 - 1.

Zadatak 2

Naci nule polinoma
P5(x) = x5 - 4x4 + 6x3 - 6x2 + 5x - 2
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

Stranice (1): 1


All times are GMT +01:00. Current time: 16.10.2018-04:48.