BiH



#1 21.09.2010-17:08
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Skupovi brojeva
Skup prirodnih brojeva zatvoren je u odnosu na operacije sabiranja i mnozenja, tj zbir a+b i proizvod ab dva prirodna broja je prirodan broj.
Za ove dvije racunske operacije vazi zakon:
komutacije
a+b=b+a
ab=ba
asocijacije
a+(b+c)=(a+b)+c
a(bc)=(ab)c
distribucije mnozenja u odnosu na sabiranje
a(b+c)=ab+ac
U skupu N nije definisano oduzimanje za sve a i b iz N. Odnosno broj 3-5 nije iz N, odnosno jednacina x+5=3 nema rjesenje u N.da bi otklonili ovaj nedostatak moramo prosiriti skup N do skupa cijelih brojeva Z. I u skupu cijelih brojeva vazi zakon:
komutacije
asocijacije
distribucije mnozenja u odnosu na sabiranje
U skupu Z jednacina x+5=3 ima rjesenje x=-2
odnosno za sve a,b iz Z jednacina x+a=b ima rjesenje.
Z je zatvoren u odnosu na oduzimanje, odnosno za sve a,b iz Z je a+b. a-b i ab su cijeli brojevi.
U skupovima N i Z 5/2 nije defisano. jednacina 2x=5 nije definisana u skupu Z, zato skup Z moramo prosiriti do skupa racionalnih brojeva Q.
Skup Q je zatvoren u odnosu na operaciju sabiranja, oduzimanja, mnozenja i dijeljenja.
Za svako a,b iz Q i a razlicito od 0 jednacina ax=b ima rjesenje u Q. Broj b/a je racionalan broj.
Jos su stari Grci ustanovili da skup Q nije zatvoren u odnosu na operaciju korjenovanja. jednacina x2=2 nema rjesenje u skupu Q. Prosirivanjem skupa Q do skupa realnih brojeva R dobijamo skup koji je zatvoren u odnosu na sabiranje, oduzimanje, mnozenja, dijeljenje i korjenovanje nenegativnih brojeva. za svako a>0 i n iz N jednacina xn=b ima rjesenje u R.
U skupu R jednacina x2= -2 nema rjesenje pa ga moramo prosiriti do skupa kompleksnih brojeva C
Ovim je zavrsen proces prosirivanja skupova brojeva. Dobili smo skupove N, Z, Q, R, C za koje vrijedi
N podskup od Z podskup od Q podskup od R podskup od C.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#2 21.09.2010-17:27
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Skupovi brojeva
Filon Aleksandrijski jevrejski teolog i filozof tvrdio je da je stvaranje svijeta u 6 dana mora biti istinito jer je 6 prvi savrseni broj.

Savrseni broj je broj koji je jednak zbiru svojih djelitelja.
Savrsenstvo broja 6=1+2+3 dovelo je do roga da sesticapostane simbolom stvaranja i dokazom postojanja Boga. savrseni brojevi su bili vazni Jevrejima. rabin Josef ben Jehuda, u svojoj knjizi Ozdravljenje duse preporucuje proucavanje savrsenih brojeva.

drevni narodi bili su opcinjeni brojevima. Mozda zato sto su teskim vremenima brojevi bili jedina konstantna stvar u haoticnom svijetu.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#3 21.09.2010-18:51
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Skupovi brojeva
Pitagorejska skola
U Pitagorejskoj skoli akcenat je bio na tajnosti i zajednistvu, tako da je tesko odgonetnuti sta je rad Pitagore, a sta njegovih ucenika. Sigurno je jedno da je ova skola dala veliki doprinos matematici.
Pitagorejce su interesovale osnove matematikepojam broja i trougla, ostakuh matematickih likova, dokaz. Odnosno zanimalo ih je sve ono sto se nama cini poznatim i o cemu se nema sta razmisljati.Pitagota je vjerovao da se sve relacije i odnosi mogu svesti na ioeracije sa brojevima.
Poznato je Pitagorino opazanje da zice muzickog instrumenta proizvode ton u harmoniji ako su koeficienti duzina zica cijeli brojevi. Pridonio ke stvaranju matematicke teorije muzike. Bio je muzicar, svirai je liru. Koristio je muziku i lijrcenju- muzikoterapija.
Proucavao je prirpdne brojeve, njihova svojstva koja su i danas poznata: parni i neparni brojevi, savrseni brojevi. Po njemu brojevi su imali osobine, muski i zenski, lijepi i ruzni, savrseni i nepotpuni.
Bjbolji od svih brojeva bio je 10. Prepoznali su ga kao zbir prva 4 broja 10=1+2+3+4.
Pitagora je poznat po svojoj teoremi, iako je ta teorema bila poznata starim Babiloncima 1000 godina ranije nego sto se Pitagpra rodio.
Pitagora nije otkrio ovaj teorem kako mnogi mislw nego ga je prvi dolazao.

Tvrdnje dokazane u pitagorejskoj skoli

Zbir uglpva u trouglu jednak je zbiru dva prava ugla.
Kvadrat na hipotenuzi jednak je zbiru kvadrata na ostalim dvjema stranicama u pravouglom trouglu. [kvadrat im nijr znacio mnozenje duzine stranice sa samom sobom nego je oznacavao geometrijski lik kvadrat konstruisan na stranici. Cinjenica da je zbir kvadrata jednak trecemu znacio je da se dva kvadrata mogu izrezati na likove od kojih se moze sloziti treci podudaran sa kvadratom na hipotenuzom.
Otkrice iracionalnih brojeva dovelo ih je do vjerovanja da se sve moze prikazati u obliku nroja pri cemu je svaki broj koeficient 2 cijela broja. Kada su pokusali izmjeriti duzinu hipotenuze jednakokrakog pravouglog trougla bili su uzasnuti otkricem da je to nemoguce. Zbog cinjenica da postoje brojevi koji se ne mogu prikazati kao omjer dva prirodna broja dovela je do toga da su tvrdnju cuvali u tajnosti kako nebi izasla na vidjelo.
U astronomiji poucavao je da je Zemlja kugla u sredistu svemira. Ustanovio je da se Mjesec nalazu pod uglom u odnosu na ekvator. Bio je jedanod prvih koji je primjetio da je Venera kao vecernja zvijezda bila isti planet kao Venera kao jutarnja zvijezda.

Desetka i pitagorejci

Pitagora i njegovi sljedbenici smatraku su broj 10 ssvrsenim brokem, jer je on zbir tetraktisa (cetvorke)
10=1+2+3+4. Ova cetvorka ptrdstavljala je sve gepmetrijske oblike: tacku(1), pravu(2), ravan (3) i tijelo (4). Pitagora je broj 10 smatrao prirodom jer ljudi broje do 10, a onda se vracaju nazad prema 1. Ovo je poistovjetio sa okretanjem tocka.
Smatrao je da su osnovni sastojci stvari po prirodi suprotstavljeni te da je potrebna neka vrsta veze da ih ujedini i ucini produktivnim.
Napravio je sistem od 10 suprotnosti:

Ograniceno, neograniceno
Parno, neparno
Jednina,mnozina
Desno, lijevo
Musko, zensko
Mirovanje, kretanje
Ravno, zakrivljeno
Svjetlo, tama
Dobro, zlo
Uglato, oblo

Zbog savrsenstva broja smatrali su da mora postojati 10 planeta.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#4 22.09.2010-20:21
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Skupovi brojeva
Skup prirodnih brojeva

Skup prirodnih brojeva oznadjavamo sa N. On je definisan na sljedeci nadjin 0={ø } 1={0} 2={1,2}...
Sabiranje prirodnih brojeva

Neka su dati konadjni skupovi A i B i neka je kA=a i kB=b i neka je A∩B= =ø. Broj k(AUB)= predstavlja zbir (sumu) brojeva a i b, koji su sumandi (adendi, pribrojnici). Radjunska operacija koju pri tom obavljamo je sabiranje (adicija). Za sabiranje prirodnih brojeva vazi
1. Zakon zatvorenosti a+b je prirodan broj
2. zakon komutacije a+b=b+a
3. zakon asocijacije (a+b)+c=a+(b+c)
4. zakon trihotonomije a=b ili a+c=b a=b+d Za a + c=b =>a < b, za a = b + d => a > b
5. zakon kancelacije skradjivanja
ako je a+c=b+c onda je a=b

Teorema
a=b <= > a+c= b+c.

Pod a1+a2+a3, podrazunjevamo (a1+a2)+a3 Pod a1+ a2+a3+a4 podrazunjevamo (a1+a2+a3)+a4 .
Uopstano je
a1+ a2+...+an=(a1+a2+...+am)+(am+1+...+an)

Teorema
a < b=> a+c< b+c
dokaz
a < b < => a+d=b< => a+d +c= b+c< => (a+c)+d = b+c< => a+c<b+c.

Teorema
(a < b & b<c) => a<c
Neka je kA=a i kB=b , broj k(AxB) zovemo proizvod ( produkt, umnoznik) brojeva a i b koji su faktori (djinioci) . Proizvod oznadjavamo sa ab.

Za mnozenje prirodnih brojeva vazi

1. Zakon zatvorenosti ab je prirodan broj
2. zakon komutacije ab= ba
3. zakon asocijacije (ab)c=a(bc)
4. zakon kancelacije skradjivanja ako je ac=bc onda je a=b
5. zakon distribucije mnozenja u odnosu na sabiranje
(a+b)c=ac +bc.

Broj b+b+b+...+b gdje pribrojnik b dolazi a puta zove se proizvod brojeva a i b .

Teorema
a = b => ac=bc a < b => ac < bc

Arhimedova teorema

Za svaka dva prirodna broja a i b postoji prirodni broj n takav da je an > b.
Posmatrajmo operacije sabiranja i mnozenja u skupu N. Odjito je to preslikavanje skupa NxN u skup N definisano sa
(a,b)→ a + b i analogno
a(a,b)→ab.
Neka je S neprazan skup. Binarna algebarska operacija (kompozicija) na skupu S je svako preslikavanje f:SxS→ S. Za algebarske operacije vrijedi

1. Zakon komutacije ako je a*b=b*a
2. Zakon asocijacje ako je a*(b*c)= a*b)*c
Ovi zakoni ne moraju vaziti uvijek.

Primjer
(a,b)= 2a + 2b
a*b= 2a+2b= 2b + 2a= b*a
(a*b)*c = (2a+2b)*c= 2(2a + 2b) + 2c= 4a+4b+2c
a*(b*c)= 2a+2(2b+2c) = 2a+4b + 4c
tj ne vazi asocijativnost.
Neka su date dvije operacije * i ○ kazemo da je operacija lijevo distributivna u odnosu na ○ ako vrijedi
a*(b○c)=(a*b) ○(a*c).

Ako su A, B,C neprazni skupovi tada svako preslikavanje skupa AxB u C zovemo binarnom algebarskom operacijom sa AxB u C. Specijalno je A=B=C.
Sam skup i skup na koji se preslikava algebarska operacija nije isto. Razlika je velika. U drugom sludjaju sa elementima skupa mozemo radjunati.
Skup zajedno sa algebarskom operacijom nazivamo grupoid. Uredjen par (S,*) koji cini neprazni skup S i algebarska operacija * definisana na skupu S zove se grupoid(monoid). Ako je (S* ) grupoid i e iz S onda je
1. e lijevi neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a
2. e desnii neutralni element u odnosu na operaciju* akoje a*e=a
3. e dvostruki neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a*e=a.

Neutralni element za operaciju mnozenja u skupu N je e=1, a za sabiranje u skupu N0 je e=0.
Grupoid moze biti asocijativan i komutativan. Asocijativan grupoid nazivamo polugrupa. Polugrupa moze imati inverzni element.

1. x je desni inverzni element u odnosu na operaciju * ako je
a * x = e
2. x je lijevi inverzni element u odnosu na operaciju * akoje
x * a = e
3. x je dvostruki inverzni element u odnosu na operaciju * ako je a * x =x * a = e
Grupa je polugrupa koja ima neutralni i inverzni element.
Polugrupa (S, *) s dvostrukim inverznim elementom ima najvise jedan inverzni element
Dokaz
x1= x1 * e = x1 (a * x0) = (x1 * a )* = x0

Neka je (S,○) polugrupa i neka je ≤ linearno uredjajna relacija sa osobinom: Ako je a < b onda je a ○ c < b ○ c, tada sistem (S,○,<) zovemo uredjenom polugrupom. Primjer Polugrupe (N,+) i (N,*) su uredjene polugrupe u odnosu na relaciju ≤. Za (S,○) i (S1 , °) grupidi. Za grupoid (S,○) kazemo da je izomorfan ( izos + morphe →istog oblika) grupoidu (S1, °) ako i samo ako postoji f:S→ S1 tako da je f(a ○ b ) → a ° b.

Oduzimanje prirodnih brojeva

Od broja a oduzeti broj b znadji naci broj d takav da je a = b+d.
Broj a je razlika ili diferencija brojeva a i b, broj a minuend ili umanjenik, a b suptrahend ili umanjitelj.
Odjigledno u skupu N ne vrijedi zakon zatvorenosti tj a-b nije iz N za svaki par a i b.
Primjer 2-3 nije iz N

Dijeljenje u skupu prirodnih brojeva
Podijeliti broj a brojem b znadji naci broj q takav da je a = bq. N. Broj a je kvocijent ili kolidjnik brojeva a i b, broj a je dividend ili djeljenik, a b je divizor ili djelitelj.
U skup N ne vrijedi zakon zatvorenosti za dijeljenje tj za svaki par a i b nije a / b iz N.
Primjer
5 / 3 nije iz N
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
Ovaj komentar je mijenjan 1 puta. zadnja izmjena 22.09.2010-20:32 od strane roza. ↑  ↓

#5 27.09.2010-16:55
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Skupovi brojeva
Peanove aksiome
U Peanovom aksimatskom sistemu direktni sljedbenik uzima se kao osnovni pojam. n+

1. 1 je prirodan broj
2. svaki prirodni broj n ima tačno jednog sljedbenika n+ = n + 1
3. Uvijek je n+ ≠ 1, tj 1 nije sljedbenik ni jednog prirodnog broja.
4. Iz m+ = n+ onda je i m = n , tj ako su sljedbenici dva prirodna broja jednaki onda su i oni jednaki.
5. (Aksioma indukcije) Svaki podskup M skupa N, koji sadrzi broj 1 i sljedbenika svakog svog elementa sadrži sve prirodne brojeve tj M = N.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#6 27.09.2010-17:00
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Skupovi brojeva
Na Peanovim aksimama temelji se matematicka indukcija.

Primjer
Dokazimo da vrijedi teorema:
razlika n^2 - n djeljiva je sa 2.
n = 1 ...(12 – 1 ) ≡ 2
neka teorema vazi za n...( n2 – n) ≡ 2
dokazimo za n + 1...(n + 1 )2 – (n + 1) = n2 + 2n + 1 –n -1 = (n2– n) +2n

Vidimo da je n2 – n djeljiv sa 2, za (n + 1 ) ako je djeljiv za n, jer je 2n djeljivo sa 2 pa ako je (n2 – n) djeljivo sa 2 onda je i i zbir (n2 – n) +2n djeljiv sa 2.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#7 27.09.2010-17:31
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Skupovi brojeva
Osnovni pojmovi Peanovih aksioma su:
prirodan broj, broj 1,
skup (S)

Koristeci još i apostrof za sledbenik, imamo sledeću, formalnu verziju aksioma prirodnih brojeva.





Iz ove aksiome proizlaze definicije





Teorema

2+2=4

Dokaz

2+2=2+1'=(2+1)'=(2')'=3'=4.

Na osnovu Peanovih aksioma imamo; Za algebarsku struktur (N,+, *) vrijede zakoni:

komutativnost
x+y=y+x i xy=yx

asocijativnost
(x+y)+z=x+(y+z) i (xy)z=x(yz)

egzistencija jedinicnog elementa
x*1=x

distributivnost
x(y+z)=xy+yz
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#8 18.12.2010-22:20
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Skupovi brojeva
MISTERIOZNI BROJ 22

Izaberimo trocifren broj sa razlicitim ciframa. Napisimo sve moguce dvocifrene brojeve sa razlicitim ciframa koji se mogu napraviti od cifara izabranog trocifrenog broja. Zatim saberimo te dvocifrene brojeve i podijelimo sa zbirom cifara pocetnog trocifrenog broja. Koji broj dobijemo?
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#9 19.12.2010-07:29
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Skupovi brojeva
Neka je xyz proizvoljan trocifren broj.
Od njega mozemo napraviti razlicite dvocifrene brojeve
xy, xz, yx, yz, zx, zy, koje mozemo zapisati na sljedeci nacin

xy = 10x + y
xz = 10x + z
yx = 10y + x
yz = 10y + z
zy = 10z + y
zx = 10z +x

sabiruci ih dobijemo:
22x+22y+22z == 22 (x+y+z)

ovo kad podelimo sa x+y+z (zbir cifara zamisljenog broja) dobijamo 22

Primjer

Uzmimo broj 123.
Od njega se mogu napraviti dvocifreni brojevi sa različitim ciframa
12, 13, 21, 23, 31, 32.
Saberemo ovih sest brojeva:
12+13+21+23+31+32=132
pa to podijelimo sa zbirom cifara pocetnog broja:
1+2+3=6 .
Dakle: 32/6= 22
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#10 19.12.2010-07:31
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Skupovi brojeva
BROJ 1089

Izaberite jedan trocifren broj ali tako da se cifre stotica i jedinica razlikuju. Okrenite redosled cifara u tom broju i od veceg oduzmite manji.
Tako dobijenom broju opet okrenite redosled cifara i saberite sa tim brojem (ne sa pocetnim)
Ako ste dobro računali znate vec koji broj treba da dobijete
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#11 12.03.2011-19:28
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Skupovi brojeva
Broj 6174
Uzmimo neki cetverocifreni broj.

1. Poredajmo cifre u tom broju u rastuci niz (od najmanje prema najvecoj).
2. Poredajmo cifre u tom broju u opadajuci niz (od najvece prema najmanjoj).
3. Oduzmimo manji broj od vecega.

S dobivenim rezultatom ponovljamo korake 1 do 3

Primjer

Posmatrajmo broj 4482. Imamo dva broja 2448 i 8442
8442 - 2448 = 5994
postupak ponavljamo i imamo
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 288 = 8532 (nulu na prvom mjestu izostavljamo)
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1476 = 6174
Broj 6174 se ponavlja
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#12 12.03.2011-19:35
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Skupovi brojeva
Primjer 1:
1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 101 * 50 = 5050

Definicija:

SAVRSENI BROJ je broj kod kojeg je zbroj svih njegovih djelitelja (osim njega samog) jednak njemu samom.

Primjer 2:
a) Broj 6
Djelitelji broja 6 koji su razliciti od njega samoga su brojevi 1, 2 i 3
Njihov zbroj je 1 + 2 + 3 = 6

b) Broj 28
Djelitelji: 1, 2, 4, 7 i 14
Zbroj: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

c) Broj 496
Djelitelji: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 i 248
Zbroj: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Za pocetak evo jedan primjer.

Definicija:
PROST BROJ je broj koji je djeljiv samo sa 1 i sa samim sobom.

Definicija:
Prosti brojevi koji se razlikuju za dva zovu se BROJEVI BLIZANCI.

Primjer 3:

Brojevi blizanci su npr. brojevi:
a) 5 i 7
b) 11 i 13
c) 17 i 19

Definicija:
SPRIJATELJENI BROJEVI su parovi brojeva sa svojstvom da je svaki od njih jednak zbroju svih djelitelja (osim njega samoga) svog broja prijatelja.

Primjer 4:

Sprijateljeni brojevi su 220 i 284.
Djelitelji broja 220 razliciti od 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110
Djelitelji broja 284 razliciti od 284: 1, 2, 4, 71, 142
Zbirovi
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Jeste li znali ovo?

Najzanimljiviji primjeri tek slijede!

Primjer 5:

12345679 * 9 = 111111111
12345679 * 18 = 222222222
12345679 * 27 = 333333333
12345679 * 36 = 444444444
12345679 * 45 = 555555555
12345679 * 54 = 666666666
12345679 * 63 = 777777777
12345679 * 72 = 888888888
12345679 * 81 = 999999999

Primjer 6:

0 * 9 + 1 = 1
1 * 9 + 2 = 11
12 * 9 + 3 = 111
123 * 9 + 4 = 1111
1234 * 9 + 5 = 11111
12345 * 9 + 6 = 111111
123456 * 9 + 7 = 1111111
1234567 * 9 + 8 = 11111111
12345678 * 9 + 9 = 111111111
123456789 * 9 + 10 = 1111111111

Primjer 7:

0 * 9 + 8 = 8
9 * 9 + 7 = 88
98 * 9 + 6 = 888
987 * 9 + 5 = 8888
9876 * 9 + 4 = 88888
98765 * 9 + 3 = 888888
987654 * 9 + 2 = 8888888
9876543 * 9 + 1 = 88888888
98765432 * 9 + 0 = 888888888
987654321 * 9 - 1 = 8888888888

Primjer 8:

42 = 16
342== 1156
3342 = 111556
33342 = 11115556
333342 = 1111155556
3333342 = 111111555556
33333342 = 11111115555556
333333342 = 1111111155555556
3333333342 = 111111111555555556
33333333342 = 11111111115555555556
333333333342 = 1111111111155555555556
3333333333342 = 111111111111555555555556
33333333333342 = 11111111111115555555555556
i tako dalje...

Primjer 9:
100 = 111 - 11
100 = 99 + 9 : 9
100 = 9 * 9 + 9 + 9 + 9 : 9
100 = 33 * 3 + 3 : 3
100 = 5 * 5 * 5 - 5 * 5
100 = ( 5 + 5 + 5 +5 ) * 5
100 = ( 5 * 5 - 5 ) * 5
100 = ( 5 + 5 ) * ( 5 + 5)
100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 * 9
100 = 123 - 45 - 67 + 89
100 = 12 : 3 + 4 * 5 - 6 - 7 + 89

Primjer 10:
4 - 4 + 4 - 4 = 0
4 - 4 + ( 4 : 4 ) = 1
( 4 * 4 ) : (4 + 4) = 2
( 4 + 4 + 4 ) : 4 = 3
( 4 - 4 ) * 4 + 4 = 4
( 4 * 4 + 4 ) : 4 = 5
( 4 + 4 ) : 4 + 4 = 6
4 + 4 - ( 4 : 4 ) = 7
4 + 4 + 4 - 4 = 8
4 + 4 + ( 4 : 4 ) = 9

Primjer 11:

1973 = 1111 : 11 + 1111 * ( 1 + 1 ) - ( 11 + 11 + 11 ) * 11 + 11 + 1 + 1
1973 = 2222 - 222 - 22 - 2 * 2 - 2 : 2
1973 = 333 * ( 3 + 3 ) - 33 + 3 * 3 - 3 : 3
1973 = 44 * 44 + 44 - 4 - 4 + 4 : 4
1973 = 55 * 55 - 555 - 555 + 55 + ( 5 + 5 + 5 ) : 5
1973 = 6 * 6 * 6 * 6 + 666 + 66 : 6
1973 = 7777 : 7 + 777 + 77 + 7 + 7 : 7
1973 = ( 8 + 8 + 8 ) * 88 - ( 8 + 8 ) * 8 - 8 - ( 8 + 8 + 8 ) : 8
1973 = 99 * 9 + ( 99 - 9 ) * 9 + 9 * ( 9 + 9 ) + ( 999 - 9 ) : 9

Primjer 12:

9 + 9 = 18 dok je 9 * 9 = 81
24 + 3 = 27 dok je 24 * 3 = 72
47 + 2 = 49 dok je 47 * 2 = 94
263 + 2 = 265 dok je 263 * 2 = 526
497 + 2 = 499 dok je 497 * 2 = 994

Primjer 13:
1 = 1 * 1 / 1
121 = 22 * 22 / ( 1 + 2 + 1 )
12321 = 333 * 333 / ( 1 + 2 + 3 + 2 + 1 )
1234321 = 4444 * 4444 / ( 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 )
123454321 = 55555 * 55555 / ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 )
12345654321 = 666666 * 666666 / ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 )
1234567654321 = 7777777 * 7777777 / ( 1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 )
i tako dalje...
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#13 19.03.2011-12:03
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Skupovi brojeva
Problem taksija je dobio ime po jednoj anegdoti vezanoj za matematicare G. H. Hardyja i Srinivasa Ramanujana.
Dok je indijski matematicar Ramanujan bio u bolnici u Londonu, u posjet mu je dosao njegov kolega Hardy. Hardy je spomenuo da je stigao s taksijem broj 1729, te dodao kako je taj broj sasvim nezanimljiv.

Ramanujan mu je odmah odgovorio da se s njim ne slaze, jer da je 1729 vrlo zanimljiv broj, a kao razlog je naveo da je to najmanji prirodan broj koji se moze prikazati zbir kubova dva prirodna broja na dva razlicita nacina.

Teorema

Za svaki prirodan broj M postoji prirodan broj m takav da jednacina
x3 + y3 = m
ima barem M rjesenja u skupu cijelih brojeva.


Mozemo postaviti pitanje koji je najmanji prirodni broj m koji se moze prikazati kao zbir kubova dva prirodna broja na M razlicitih nacina.
Taj broj se zove M-ti taksi-broj i oznacava se sa Ta(M).
Trivijalno je
Ta(1) = 2 = 13 + 13.

Ta(2) = 1729 = 13 + 123 = 93 + 103
Poznato je jos da vrijedi



15170835645 = 5173 + 24683 =
7093 + 24563=
17333 + 21523.

n-ti cabtaxi broj, ozncavamo sa Cabtaxi (n), je najmanji pozitivni cijeli broj koji može biti napisan kao zbir dva pozitivna ili negativna ili 0 kocke na n nacine. Poznato je samo 10 takvih brojeva.



"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#14 27.03.2011-05:36
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Skupovi brojeva
BROJ DEVET

Zbir cifara proizvoda broja 9 i bilo kog drugog broja, uvijek daje opet broj 9.

1 x 9 = 9 = 9 + 0 = 9
2 x 9 = 18 = 1 + 8 = 9
3 x 9 = 27 = 2 + 7 = 9
4 x 9 = 36 = 3 + 6 = 9
5 x 9 = 45 = 4 + 5 = 9
6 x 9 = 54 = 5 + 4 = 9
7 x 9 = 63 = 6 + 3 = 9
8 x 9 = 72 = 7 + 2 = 9

9 x 9 = 81 = 8 + 1 = 9

Isto vazi ako broj 9 pomnozimo sa bilo kojim brojem vecim od 9.

48x9=432=4+3+2=9
257x9=2313=2+3+1+3=9
75434x9=678906=6+7+8+9+0+6=3=36
896315472x9=8066839248=8+0+6+6+8+3
+9+2+4+8=54=5+4=9

"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#15 27.03.2011-07:08
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 642


Subject: Re: Skupovi brojeva
Broj 9 se kod starih naroda smatrao savrsenim i potpunim, kao i trojka, koja je uostalom sadrzalac tog istog broja 9.

Broj 6 na neki nacin vezan za Jevreje. Tvrdili su da je svijet stvoren u 6 dana.
Pakao ima 9 krugova

BROJ 7

7 svjetskih cuda
7 dana u nedjelji
7 je zbir cifara na suprotnim stranama kockice za jamb
Snejzana i 7 patuljaka
Cizme od sedam milja
7 galaktickih pravaca
7 godina nesrece kad razbijes ogledalo
Broj slova, recenica, suglasnika i samoglasnika u Bibliji je djeljiv sa sedam
Rim je izgradjen na sedam brezuljaka
U Davidovoj Zvijezdi su ispisani brojevi od jedan do sedam, s tim sto je broj sedam u sredini zvijezde i dominira nad ostalim brojevima
7 (cijelih) nota
7UP (pice)
7 duginih boja
iza 7 mora i 7 gora se dogadjaju bajke...

Mnogi ljudi i danas kada pisu brojku 7 stavljaju crticu u donji dio broja. Ta crtica u teoriji ne postoji, ne moze se naci ni na tastaturi, ni na kalkulatoru ... No znate li odakle dolazi ta navika? Ona je, naime, nastala jos davno u doba kada se Mojsije popeo na planinu da bi zapisao 10 zapovijedi...
I kad je dosao do sedme zapovijedi rece mu Bog:
"Ne pozeli zenu bliznjega svoga"
Nakon muka i tisine narod povice:
"Precrtaj 7!"
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

Stranice (2): 1, 2


All times are GMT +01:00. Current time: 21.09.2019-12:07.