Bosna i Hercegovina



#16 28.06.2016-17:49
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 645


Subject: Re: Elementarna algebra
Sve primitivne Pitagorine trojke (x, y, z), u kojima je y paran (dakle, x i z neparni) dobijene su pomoću formula

x=kl

y=(k2-l2) /2

z=(k2-l2) /2

za k > l, i (k, l) su parovi svih neparnih relativno prostih prirodnih brojeva . Svaka primitivna trojka (x, y, z) gdje je y paran je na ovaj način dobijena samo jednom.

Dokaz.

Jednačinu

x2+y2=z2

transformišemo u oblik

x2 = (z + y)(z-y)

Definišimo brojeve u = z + y i v = z-y, uz pretpostavku teoreme z je neparan, a y paran. Tada su u i v neparni. Kako su y i z relativno prosti, a z je neparan, u i v su relativno prosti.

Iz jednačine

x2 = (z + y)(z-y)=> x[/sup]2 = uv, postoje relativno prosti (neparni) prirodni brojevi k, l takvi da je u = k[sup]2, v = l2. Tako dobijamo tražene jednačine
x=kl

y=(k2-l2) /2

z=(k2-l2) /2

Jedan od mogućih pravilnih redosljeda dobijanja svih primitivnih Pitagorinih trojki pomoću tih formula dobijemo rednim uzimanjem neparnih brojeva 3, 5, 7, 9 . . . za k, i za svaki od njih sve neparne brojeve za l, koji su manji od k i relativno prosti s njim.
Kategorije:
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#17 28.06.2016-17:54
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 645


Ocjena: Ocjena:100 Subject: Re: Elementarna algebra
Zanimljive Pitagorine trojke su i one čije su katete susjedni brojevi. Uošsteno bismo ih mogli zapisati (x, x + 1, z) Pitagorinih trojki oblika (x, x + 1, z) ima beskonačno mnogo.

Dokaz

Neka su x i z prirodni brojevi, te neka je (x, x + 1, z) Pitagorina trojka. Tada postoji Pitagorina trojka (3x+2z +1, 3x+2z +2, 4x+3z +2)

Pokažimo da je ova trojka Pitagorina.

(3x + 2z + 1)^2 + (3x + 2z + 2)^2 = 18x^2 + 24xz + 8z^2 + 18x + 12z + 5

x^2 + (x + 1)^2 = z^2 => 2x^2 + 2x + 1 = z^2 =>

(3x + 2z + 1)^2 + (3x + 2z + 2)^2 = 16x^2 + 24xz + 9z^2 + 16x + 12z + 4= (4x + 3z + 2)^2

(3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2) je Pitagorina trojka.

Iz svake Pitagorine trojke (x, x+1, z), kod koje su katete susjedni brojevi, možemo dobiti Pitagorinu trojku

f(x, x + 1, z) = (3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2)

s dužim stranicama, čije su katete također susjedni brojevi. Za trougao (3, 4, 5) na taj način dobijemo trougao sa stranicama dužine (20, 21, 29).

(3* 3 + 2 * 5 + 1 = 20, 21, 4 * 3 + 3 * 5 + 2 = 29).
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

Stranice (2): 1, 2

Srodne teme


All times are GMT +01:00. Current time: 21.02.2018-04:42.