Bosna i Hercegovina



#1 01.03.2011-11:20
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 645


Ocjena: Ocjena:100 Subject: Brojevi kroz istoriju
Rhindov papirus





Mnozenje




"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#2 01.03.2011-11:23
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 645


Subject: Re: Brojevi kroz istoriju
Vratimo se na mnozenje
13*11=
13 prikazujemo kao potencije od 2.
1*11=11
2*11=22
4*11=44
8*11=88
Izmedju brojeva izaberemo one koji daju zbir 13.
U nasem slucaju to je 1+4+8=13
Svaki od tih brojeva pomnozimo sa 11 i dobijamo
11+44+88=143

RAZLOMCI
Razlomci se svode na razLomke ciji brojnik je 1.





"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#3 01.03.2011-14:17
arax Offline
Administrator
Registrovan/a od: 04.02.2009-10:24
Komentari: 972


Subject: Re: Brojevi kroz istoriju
Vrlo poučno!
Ćutanje je zlato. Kad bi svi ćutali svijet bi ostao bez napretka.
↑  ↓

#4 15.03.2011-20:24
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 645


Subject: Re: Brojevi kroz istoriju
Neko moze misliti da kada se brojni sistem poceo koristiti, da tada nula kao oznaka praznog prostora nije bila potrebna. Ali to naravno nije slucaj. Na primjer Vavilonci su imali brojni sistem bez nule i koristili ga skoro hiljadu godina. Ne postoji zapis da su Vavilonci imali bilo kakav problem sa ovim brojnim sistemom. Nevjerovatno je da su originalni tekstovi prezivjeli cak od ere Vavilonaca do danas. Vavilonci su pisali na glinenim tablama koristeci klinasto pismo. Utiskivali su simbole u mekanu plocu. Mnogi zapisi su sacuvani iz 1700. god. pne. tako da sada mozemo citati originalne tekstove. Naravno njihova notacija brojeva je skroz razlicita od ove koje mi danas koristimo (osnova je bila 60) , ali prevodjenjem na nasu notaciju nije bilo razlike izmedju 2106 i 216 (konteks treba pokazati sta je bilo naznaceno). Negde oko 400 g. pne. Vavilonci su stavili dva simbola koji su oznacavali nulu, 216 ili 21"6. Ova dva simbola se nisu jedino koristila. U gradu Kish - drevnom gradu Mesopotamije - lociran na istoku Vavilonije koji danas predstavlja juzno-centralni dio Iraka, koristila se drugacija notacija. Na ovim plocama nula je zabiljezena kao simbol koji se sastoji od tri 'kuke' i predstavljala je prazno mjesto u brojnom sistemu. Postoji vazan razlog zasto su se koristile razlicite oznake da oznace prazno mjesto. Ovaj se simbol koristio uvijek izmedju dva broja, a ne na kraju broja. Tako cemo naci zapis 21"6 a ne 216".
navodnika tako da broj ima korektnu interpretaciju.

Doprinos razvoju matematike dali su i Grci u tom nekom vremenu. Oni nisu koristili pozicioni sistem vrijednosti. Vazno je vidjeti kakav je njihov uticaj po pitanju toga. Kako Grci nisu uvidejli vrijednost Vavilonskog brojnog sistema? Njihova dostignuca bila vezana za geometriju. Cak Euklidova knjiga elemenata sadrzi dio koji sadrzi teoriju o brojevima, a ona se bazira na geometriji. Drugim rijecim Grci nisu imali potrebu da imenuju brojeve sve dok su radili sa brojevima kao duzinama linija. Brojeve koje je trebalo imenovati zbog nekih ocjena, koristili su trgovci, a ne matematicari i tako otkrili notaciju koja im je bila potrebna.
Postoje neki. To su bili matematicari koji su koristili racune za obradu astronomskih podataka. Ovdje mozemo pronaci prvo koriscenje nule kao simbola kojeg mi danas koristimo. Grcki astronomi su poceli koristiti simbol 0.

Postoje mnoge teorije zasto se ova notacija pocela koristiti. Neki istoricari favorizuju objasnjenje da je omikron, prvo slovo Grcke rijeci "ouden" (znacenje ove rijeci je nista). Neugebauer, kao bilo, odbacio je ovo objasnjenje dok Grci nisu konacno poceli koristiti omicron kao broj - predstavili su broj 70 (Grcki brojni sistem se bazira na njihovom alfabetu). Druga objasnjenja su vezana za "obol", novcic koji skoro nema vrijednost. Ti novcici (zetoni) su se koristili za racunanje. Sugestija ovdje je da kada se zeton skloni sa lijeve kolone, ostavlja otisak u pijsku koji lici na O.

Ptolomej u svom djelu Almagest napisao je oko 130 g.pne je koristio Vavilonski seksadecimalni sistem zajedno sa O koja oznacava prazno mjesto. U ovom vremenu Ptolomej koristi simbol izmedju brojeva i na kraju broja. Ovo je, kako bilo, daleko od onoga sto se kasnije desilo. Samo nekoliko astronoma je koristilo ovaj sistem zajedno sa nulom. Vazno je reci da je ideja nekoliko puta bila osporavana dok konacno nije usvojena. Ideja o nula-mjestu rodila se tada i kod Indijskih matematicara.
Brojni sistem koji je nastao u Indiji koristi i danas, tj. veoma je slican danasnjem brojnom sistemu. Naravno ne mozemo reci da Indijski matematicari nisu preuzeli nesto od ranijih matematicara i ranijih kultura i mnogi vjeruju da su broj nula preuzeli od grckih astronoma. Mnogi istoricari favorizuju Indijce i njihov doprinos matematici dok neki rade sasvim suprotno potcenjujuci njihov uticaj. Za primjer Mukherje je pisao:-

...matematicki koncept broja nula...je duhovno predstavljen prije 17000 hiljada godana u Indiji.

Sto je sigurno a to je da se oko 650 g. pne. poceo koristiti broj nula u Indiji. Indiski matematicari su koristili mjesto-vrijednost sistem i nulu kao pokazatelja praznog mjesta u sistemu. oko 200. g. pne. u Indiji pocela koristiti nula za oznaku praznog mjesta. Ali su neki istoricari ispustili ovaj podatak.

Oko 500 g.pne. Aryabhata razvio je brojni sistem koji nije sadrzao nulu. On je koristio rijec "kha" za poziciju i ta ce rec dobiti ime nula. Postoji evidencija da je tacka koristena u Indiji za oznaku praznog mjesta. Interesnatno je da se u spisima iz tog vremena moze pronaci tacka koja oznacava nepoznatu x.

Kasnije u Indiji jos uvijek su se za nulu koristila imena i jos nije bilo simbola koji bi je determinisao. Prvi spisi o nacinu koriscenja broja nula i sa kojima su se svi slozili je napisano 876. godine.
Nailazimo na prevod spisa koji su napisani na tabli koja sadrzi datum koji mozemo prevesti u 876. Tabla je nadjena u gradu Gwalior, 400 km juzno od Delhija, gdje su zasadili bastu 187 x 270 na kojoj su zasadili cvijece dovoljno da se naprave 50 vijenaca dnevno koji su namjenjeni lokolnoj crkvi. Oba broja 270 i 50 su oznaceni onako kako danas izgledaju.

Ovdje nalazimo prvu upotrebu nule kakva se danas koristi, tj. nule kao broja. Naravno, moramo da primjetimo da ona nije prirodni kandidat za broj. Od ranije brojevi samo predstavljaju objekte ili skup objekata. Najverovatnije ideja o brojevima je postala vise abstraktnija tako da se moze polemisati kako o prirodnim tako i o negativnim brojevima i broju nula. Problem nastaje onda kada se nula i negativni brojevi pocnu posmatrati u odnosu na aritmeticke operacije kao sto su: sabiranje, oduzimanje, mnozenje, deljenje. U trima vaznim knjigama Indijski matematicari Brahmagupta, Mahavira i Bhaskara pokusali su da odgovore na ova pitanja.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#5 15.03.2011-20:31
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 645


Subject: Re: Brojevi kroz istoriju
Brahmangupta se trudio da opise pravila prilikom racunskih operacija sa nulom i negativnim brojevima u sedmom vijeku. On je objasnio da ako broj oduzmes od istog broja rezultat je nula. Dao je sljedece pravilo:-

Zbir nule i negativnog broja je negativan broj, zbir pozitivnog broja i nule je pozitivan broj, zbir nule i nule je nula.

Oduzimanje je objasnio ovako:-

Negativan broj oduzet od nule je pozitivan broj, pozitivan broj oduzet od nule je negativan broj, nula oduzeta od negativnog broja je negativna, nula oduzeta od pozitivnog broja je pozitivna, nula oduzeta od nule je nula.

Brahmagupta je dalje napisao da je svaki broj pomnozen sa nulom - nula, ali je sa deljenjem imao malih poteskoca:-

Pozitivan ili negativan broj kada se dijele brojem nula predstavljaju razlomak gde je nula imenilac tog razlomka. Nula podijeljena negativnim ili pozitivnim brojem je takodje nula ili predstavlja razlomak gde je nula brojioc i ogranicen imeniocem. Nula podijeljena sa nulom je nula.


Realno Brahmangupta je rekao veoma malo kada je napisao da je n podeljeno sa 0 = n/0. Najverovatnije da je ovdje imao problema. Sigurno je pogrijesio i kada je napisao da je 0/0 = 0. Kako bilo ovo je briiljantan pokusaj da se aritmeticke operacije prosire na negativne brojeve i nulu.

Negdje oko 830. god. 200 godina poslije Brahmangupte, Mahavira je napisao jedno izvrsno djelo Ganita Sara Samagraha koje je nadgradnja Brahmanguptinog djela. Tacno je izjavio:

broj pomnozen nulom je nula i broj ostaje nepromenjen kada se nula oduzme od njega.

Njegov pokusaj da dokaze Brahmanputina tvrdjenja deljenja sa nulom doveo ga je do greske. Pisao je:-

Broj ostaje nepromjenjen kada se podijeli nulom.

Bhaskara je napisao oko 500 godina poslije Brahmagupte svoje djelo. Ako uzmemo u obzir koje je tada vrijeme bilo, njegovi pokusaji su i dalje bili netacni. Pisao je:

Kolicina podijeljena nulom predstavlja razlomak gdje je nula imenilac. Ovaj razlomak je oznacen jednom beskonacnom velicinom. U ovoj velicini koja ima nulu za svog deljenika, nema promjena, ipak mnogi mogu biti ubaceni ili izbaceni; kao sto nema promjena u beskonacnom i nedostiznom Bogu kada se kreirao svijet ili unistavao, ipak neki red postoji.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#6 15.03.2011-20:35
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 645


Subject: Re: Brojevi kroz istoriju
Tako Bhaskara pokusava da rijesi problem pisuci n/o = . Na prvi pogled ovo izgleda tacno, ali naravno da nije. Ako je tacno da je 0 puta mora biti jednako svakom broju n, onda su svi brojevi jednaki. Bhaskara je dobro uradio neke druge stvari vezane za operacije sa nulom, kao sto je 02 = 0 i 0 = 0.

Treba takodje primjetiti da su postojale i druge civilizacije koje su razvile brojni sistem koji je sadrzao nulu. Neke od tih civilizacija su bila i plemena Maja, koji su zivjeli u centralnoj Americi, gdje je sada juzni Meksiko, Gvatemala, i sjeverni Belize. To je bila jedna stara civilizacija i njen najveci uspon datira izmedju 250. god. i 900. god. Znamo da je oko 655 god. koriscen brojni sistem sa osnovom 20 i ukljucivao je nulu. Kako bilo njihovo koristenje nule datira i prije nego sto su uopste imali brojni sistem. To je bilo nevjerovatno dostignuce, ali je steta sto nije imalo uticaja na ostale civilizacije.

Izvrstan rad Indijskih matematicara usvojili su Arapski matematicari, a kasnije i zapadni svijet. Al-Khwarizmi je napisao jedno izvrsno djelo Al'Khwarizmi on the Hindu Art of Reckoning gdje je opisao Indijski brojni sistem koji je sadrzao 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Ibn Ezra u XII vijeku, napisao je tri rasprave o brojevima. To je pomoglo da se rodi ideja o decimalnim brojevima nekim uticajnim ljudima tog vremena u Evropi. Knjiga brojeva opisuje decimalni sistem cijelih brojeva sa brojnim sistemo slijeva nadesno. U svom radu, ibn Ezra koristi nulu i naziva je galgal (znaci krug ili tocak). Nesto kasnije, takodje u XII veku al-Samawal je pisao:-

Ako oduzmemo pozitivan broj od nule dobicemo isti ali negativan broj...ako oduzmemo negativan broj od nule dobicemo isti pozitivan broj.

Ideja Indijskih matematicara prosirila se dalje na Kinu, kao i na islamske zemlje. Kineski matematicar 1247. god. Ch'in Chiu-Shao napisao je Matematicke rasprave u devet sekcija. On je koristio simbol O za nulu. Nesto kasnije, 1303. god. Chu Shih-Chieh napisao je slicno djelo gde je takodje koristio O kao simbol za nulu.

Fibonacci je bio jedan od vaznijih ljudi koji je donio vazne matematicke ideje u Evropu. Pisao je:-

Jedna vazna spona izmedju Hindu-Arapskog brojnog sistema i Evropskih matematicara su Italijanski matematicari.Fibonacci.

U svom djelu Liber Abaci opisao je devet Indijskih simbola zajedno sa nulom, oko 1200. god. Ovi se simboli nisu upotrebljavali dugo posluje toga. Fibonacci je o nuli govorio kao o znaku, dok je o ostalim znacima (1, 2, ...) govorio kao o brojevima. Medjutim on nije uspio da dostigne sofisticiranost koju su imali Indijski matematicari Brahmagupta, Mahavira i Bhaskara kao i Arapski i islamski matematicari kao sto je al-Samawal.

Neko moze pomisliti da je progres sistema brojeva i nule od tog vremena nasao svoju primjenu. Medjutim, to je daleko od istine. Cardon je rijesio kubne jednacine ne koristeci nulu. On bi sebi puno olaksao posao da je koristio nulu u to vrijeme (oko 1500. god.) Oko 1600. god. nula se nasiroko pocela upotrebljavati.

Naravno jos uvijek postoje problemi sa nulom. Mnogi ljudi sirom svijeta slave dolazak novog milenijuma 1. Januara 2000. Naravno oni slave 1999 godina koje su prosle do 2000. god jer nulta godina u kalendaru nije postojala. Tako mnogim ljudima nije jasno zasto se treci milenijum i 21. vek slave 2001. godine. Nula jos uvijek pravi probleme!
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#7 17.11.2013-20:07
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 645


Subject: Re: Brojevi kroz istoriju
Dugo se smatralo da je najstariji postojeci matematicki artefakt od znacaja egipatsko
vladarsko zezlo, za koje se vjeruje da datira priblizno iz 3100. godine p.n.e. Na zezlu
je napisano nekoliko brojeva reda miliona i stotina hiljada, napisanih egipatskim hijeroglifima,
kojima su zabiljezeni preuvelicani rezultati uspjesnog vojnog pohoda.
Medjutim, pronadjen je znatno stariji artefakt koji se takodje odnosi na brojanje.
Na rucnom alatu od kosti nalaze se zarezi aranzirani prema odredjenim numerickim obrascima
zajedno sa komadom kvarca koji je pricvrscen za glavu rucice. Artefakt je poznat kao kost
iz Isanga, a pronadjen je na obali Edvardovog jezera u Republici Kongo. Smatra se da datira
iz perioda izmedju 9000 i 6500 godina p.n.e. moguce je da se zaceci matematike nisu desili ni u Egiptu ni u Mesopotamiji, vec u africkim predjelima juzno od Sahare.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#8 17.11.2013-20:11
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 645


Subject: Re: Brojevi kroz istoriju
Prvi zapis o prelasku sa konkretnog brojanja na apstraktno datira iz 3100. godine
p.n.e. Na jednoj sumerskoj glinenoj tablici prikazan je broj 33 pomocu tri zareza i tri kruzica,
pri cemu zarezi oznacavaju jedinice a kruzici desetice. Zajedno sa znakom za cup za ulje koji se
nalazi pored, cio natpis bi se mogao procitati kao 33 cupa ulja. Ovaj ekonomican nacin pisanja,
kako u racunu tako i u ljudskoj komunikaciji, brzo je postao rasprostranjen.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#9 17.11.2013-20:55
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 645


Subject: Re: Brojevi kroz istoriju
Englez R. Mejson navodi jednu sarmantnu anegdotu iz perioda II svjetskog rata. U to vrijeme djevojka iz Japana boravila je u Indiji, koja je tada bila u ratu s Japanom. Da bi se izbjegle moguce neprijatne situacije, njena prijateljica predstavila je drustvu kao Kineskinju. Jedan od prisutnih Engleza bio je sumnjicav pa ju je zamolio da broji do pet na prstima, sto je ona i ucinila poslije malo oklijevanja. Na to je on uzviknuo uzbudjeno:
Da li ste vidjeli ovo? Da li ste vidjeli kako je ona to uradila? Pocela je sa otvorenom sakom i savijala prste jedan za drugim. Da li ste ikada vidjeli Kineza da to radi? Nikada! Kinezi broje kao i Englezi. Pocinju sa zatvorenom sakom. Ona je Japanka - zakljucio je trijumfalno.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#10 18.11.2013-20:26
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 645


Subject: Re: Brojevi kroz istoriju
Najneobicniji brojni sistem svakako su imali Vavilonci. Oni su razvili racunanje sa brojnom bazom 60 u kombinaciji sa deseticnim sistemom. Razlog za uvodjenje sezdeseticne brojne baze lezi, pored ostalog, i u cinjenici da broj 60 ima mnogo djelilaca (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 i 30), sto je omogucavalo veoma jednostavno racunanje sa razlomcima

Vavilonci su prvi uveli pozicioni brojni sistem u kome je vrijednost svake cifre odredjena njenim polozajem: na primjer, dvije uzastopne jedinice oznacavale su 61. Ipak u njihovom nacinu
pisanja bilo je i neodredjenosti jer simbol za nulu nije postojao (koristili su znak za odsustvo cifre). On je uveden tek mnogo kasnije, u devetom vijeku u indijskoj matematici.

Trajan uticaj vavilonske matematike i sezdeseticnog brojnog sistema zadrzao se do danasnjih dana preko podjele sata na 60 minuta i 3600 sekundi kao i podjele kruga na 360 stepeni, koje se
i sada koriste.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#11 18.11.2013-20:35
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 645


Subject: Re: Brojevi kroz istoriju
Brojni sistem koji se danas koristi je pozicioni sistem sa brojnom osnovom deset. U
ovom sistemu svaka cifra ima vrijednost u zavisnosti od mjesta na kome se nalazi. Na primjer, u
broju 53 cifra 5 oznacava desetice pa joj je vrijednost 5*10 = 50 dok 3 oznacava jedinice tako da
ima vrijednost 3*1 = 3. Deseticni ili decimalni pozicioni sistem duguje svoje porijeklo indijskoj
matematici. Prva poznata primjena ovog sistema datira iz 595. godine.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#12 20.11.2013-20:28
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 645


Subject: Re: Brojevi kroz istoriju
Maje iz Centralne Amerike i Juznog Meksika su razvili dvadeseticni sistem sa simbolom za nulu (vjerovatno oko 1000. godine nove ere) i sasvim dobro razvili pozicionu notaciju, ali je njihova kultura nestala prije spanske invazije. Najveci broj pronadjen u kod Maja je 12 489 781 (zapisan u nasoj decimalnoj notaciji).
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

#13 20.11.2013-20:31
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Komentari: 645


Subject: Re: Brojevi kroz istoriju
π je sesnaesto slovo grcke abecede (16 = 42). U engleskoj abecedi, p je takodjer sesnaesto slovo, a i je deveto slovo (9 = 32). Saberemo li ih (16 + 9), dobijete 25 =52.
Pomnozimo li ih 16 * 9= 144=122. Podijelite li 9 sa 16, 9/16= 0.5625 (0.752.

Slavni omjer obima i precnika kruga svoju prvu oznaku dobio je tek 1689. godine.
Bilo je to slovo e! Grcko slovo π koristilo se za oznacavanje raznih matemati ckih pojmova, npr. obima kruga, a matematicar William Jones 1706. godine prvi puta ga koristi kao oznaku za kruzni omjer. No njegov uticaj nije bio dovoljno jak da bi je prihvatili i ostali
matematicari.
1734. godine u svojim radovima Leonard Euler π oznacava s p, a π/2 s q. Nikolaus Bernoulli koristi oznaku c. Godinu dana kasnije prelazi na π. 1748. godine, kad Euler objavljuje Introductio in analysin infinitorum, danasnja oznaka postaje prihvacena.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
↑  ↓

Stranice (1): 1


All times are GMT +01:00. Current time: 21.01.2018-19:28.