| roza | 05.06.2011 05:19 |
|---|---|
|
Predmet: Vietove formule Izraz Pn (x)=an xn+an-1 xn-1+⋯+a1x+a0 gdje su (an) konstante i n≥1 za an≠0 i n>1 je POLINOM n-tog stepena po x. Za an=an-1=...=a1=o, a0=0 polinom Pn je polinom nultog stepena. Ako je an=an-1=...=a1=o, a0=0 odnosno Pn≡0 onda je Pn nula polinoma. Polinomi Pn (x)=an xn+an-1) xn-1+⋯+a1 x+a0 i Qm (x)=bm xm+bam-1 xm-1+⋯+b1 x+b0 su jednaki samo ako su istog stepena i ako su im koeficienti jednaki, tj m = n i ai = bi (1 ≤ i ≤ n). Nula polinoma Pn je x0 za koje je Pn(x0)=0 Pn(x)=0 jeALGEBARSKA JEDNACONA n-tog stepena cija su rjesenja nule polinoma Pn(x). Za svaka dva polinoma Pn (x) i Qm (x) n ≥ m postoje polinomi Sk(x) i Rl(x) takvi da je Pn(x) = Qm(x) * Sk(x) + Rl(x) pri cemu je l < m ili je Rl(x) ≡ 0, a k + m = n. Polinom Sk(x) je rezultat diobe polinoma Pn(x) i polinomom Qm(x) a Rl(x) je ostatak pri diobi polinoma Pn(x) polinomom Qm(x). Bezuov stav Pri diobi polinoma Pn(x) polinomom prvog stepena (x-a) ostatak je jednak P(a). Posljedica Bezuovog stava: Ako je a nula polinoma, onda je polinom Pn(x) djeljiv polinomom (x-a) bez ostatka, pa je Pn(x) = anQn-1(x)* (x-a) Ako su x1; x2, ..., x nule polinoma, tada je Pn(x) = an(x- x1)(x- x2)... (x- xn) Ako je Pn(x) = an(x- a)k * Qm(x) tada je a nula k-tog reda polinoma. Primjer Za polinom f(x) = x3 - 5x2 + 8x - 4 = (x . 2)2(x - 1) x = 2 je nula drugog reda, a x = 1 nula prvog reda. Za polinom f(x) = x4 + 2x2 + 1 = (x - i)[/sup]2(x + i)[sup]2 x = i i x = -i su nule drugog reda. Osnovni stav algebre Svaki polinom reda n ≥ 1 ima n (realnih ili kompleksnih, ne obavezno razlicitih medju sobom) nula x1; x2, xn. Odnosno nula k-tog reda racuna kao k (istih) nula. |
|
| roza | 05.06.2011 06:11 |
|---|---|
|
Predmet: Re: Vietove formule Izmedju koeficjenata polinoma { ai}i nula polinoma {xk} vaze jednakosti: x1 + x2 + ... + xn-1 + xn = -an-1/an (x1x2 +x1x3 +...+x1xn)+(x2x3 +x2x4 +...+x2xn)+...+xn-1xn = an-2/an ... x1x2 ... xn = (-1)n a0/an Vietove formule za polinom drugog stepena P(x) = ax2+bx+c cije su nule x1 i x2 glase: x1 + x2 = -b/a x1x2 = c/a a za polinom treceg stepena P(x) = ax3 + bx2 + cx + d cije su nule x1, x2 i x3: x1 + x2 + x3 = -b/a x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a x1x2x3 = -d/a. Ako su svi koeficienti {ai} polinoma Pn(x) realni, a polinom ima kompleksnu nulu α + iβ reda k, tada je α-iβ kompleksna nula tog polinoma reda k. Kod polinoma sa realnim koeficientima, kompleksne nule se javljaju u parovima: kao kompleksan broj z i njemu konjugovano kompleksan broj z´. Svaki polinom n-tog stepena sa realnim koeficientima moze da se faktorizuje, odnosno napise u obliku Pn(x) = an(x-x1)k1(x-x2)k2 ...(x-xi)ki(x2+b1x+c1)l1(x2+b2x+c2)l2... (x2+bjx+cj)lj za k1 + k2 + ... + ki + 2(l1 + l2 + ... + lj = n pri cemu su an, x1, x, ... , xi, b1, b2, ..., bj , c1, c2,..., cj realni brojevi, a polinomi x2 + bjx + cj nemaju realnih nula. Svakoj nuli k-tog reda a odgovarace jedan faktor oblika (x - a)k a svakom paru konjugovano kompleksnih nula k-tog reda α±iβ faktor oblika (x2 +bx+c)k gde su α±iβ kompleksna rjesenja kvadratne jednacine x2 + bx + c = 0. |
|
| roza | 05.06.2011 06:14 |
|---|---|
|
Predmet: Re: Vietove formule Zadatak 1 Naci polinom S(x) i R(x) tako da je P(x) = S(x) *Q(x) + R(x) gdje je P(x) = x4 + 3x3 + x - 1 i Q(x) = x2 - 1. Zadatak 2 Naci nule polinoma P5(x) = x5 - 4x4 + 6x3 - 6x2 + 5x - 2 |
|