iCentar » Nauka » Matematika » Algebra

roza	21.09.2010 17:08
Predmet:Skupovi brojeva Skup prirodnih brojeva zatvoren je u odnosu na operacije sabiranja i mnozenja, tj zbir a+b i proizvod ab dva prirodna broja je prirodan broj. Za ove dvije racunske operacije vazi zakon: komutacije a+b=b+a ab=ba asocijacije a+(b+c)=(a+b)+c a(bc)=(ab)c distribucije mnozenja u odnosu na sabiranje a(b+c)=ab+ac U skupu N nije definisano oduzimanje za sve a i b iz N. Odnosno broj 3-5 nije iz N, odnosno jednacina x+5=3 nema rjesenje u N.da bi otklonili ovaj nedostatak moramo prosiriti skup N do skupa cijelih brojeva Z. I u skupu cijelih brojeva vazi zakon: komutacije asocijacije distribucije mnozenja u odnosu na sabiranje U skupu Z jednacina x+5=3 ima rjesenje x=-2 odnosno za sve a,b iz Z jednacina x+a=b ima rjesenje. Z je zatvoren u odnosu na oduzimanje, odnosno za sve a,b iz Z je a+b. a-b i ab su cijeli brojevi. U skupovima N i Z 5/2 nije defisano. jednacina 2x=5 nije definisana u skupu Z, zato skup Z moramo prosiriti do skupa racionalnih brojeva Q. Skup Q je zatvoren u odnosu na operaciju sabiranja, oduzimanja, mnozenja i dijeljenja. Za svako a,b iz Q i a razlicito od 0 jednacina ax=b ima rjesenje u Q. Broj b/a je racionalan broj. Jos su stari Grci ustanovili da skup Q nije zatvoren u odnosu na operaciju korjenovanja. jednacina x²=2 nema rjesenje u skupu Q. Prosirivanjem skupa Q do skupa realnih brojeva R dobijamo skup koji je zatvoren u odnosu na sabiranje, oduzimanje, mnozenja, dijeljenje i korjenovanje nenegativnih brojeva. za svako a>0 i n iz N jednacina xⁿ=b ima rjesenje u R. U skupu R jednacina x²= -2 nema rjesenje pa ga moramo prosiriti do skupa kompleksnih brojeva C Ovim je zavrsen proces prosirivanja skupova brojeva. Dobili smo skupove N, Z, Q, R, C za koje vrijedi N podskup od Z podskup od Q podskup od R podskup od C.

roza

21.09.2010 17:08

Predmet:Skupovi brojeva

Skup prirodnih brojeva zatvoren je u odnosu na operacije sabiranja i mnozenja, tj zbir a+b i proizvod ab dva prirodna broja je prirodan broj.
Za ove dvije racunske operacije vazi zakon:
komutacije
a+b=b+a
ab=ba
asocijacije
a+(b+c)=(a+b)+c
a(bc)=(ab)c
distribucije mnozenja u odnosu na sabiranje
a(b+c)=ab+ac
U skupu N nije definisano oduzimanje za sve a i b iz N. Odnosno broj 3-5 nije iz N, odnosno jednacina x+5=3 nema rjesenje u N.da bi otklonili ovaj nedostatak moramo prosiriti skup N do skupa cijelih brojeva Z. I u skupu cijelih brojeva vazi zakon:
komutacije
asocijacije
distribucije mnozenja u odnosu na sabiranje
U skupu Z jednacina x+5=3 ima rjesenje x=-2
odnosno za sve a,b iz Z jednacina x+a=b ima rjesenje.
Z je zatvoren u odnosu na oduzimanje, odnosno za sve a,b iz Z je a+b. a-b i ab su cijeli brojevi.
U skupovima N i Z 5/2 nije defisano. jednacina 2x=5 nije definisana u skupu Z, zato skup Z moramo prosiriti do skupa racionalnih brojeva Q.
Skup Q je zatvoren u odnosu na operaciju sabiranja, oduzimanja, mnozenja i dijeljenja.
Za svako a,b iz Q i a razlicito od 0 jednacina ax=b ima rjesenje u Q. Broj b/a je racionalan broj.
Jos su stari Grci ustanovili da skup Q nije zatvoren u odnosu na operaciju korjenovanja. jednacina x²=2 nema rjesenje u skupu Q. Prosirivanjem skupa Q do skupa realnih brojeva R dobijamo skup koji je zatvoren u odnosu na sabiranje, oduzimanje, mnozenja, dijeljenje i korjenovanje nenegativnih brojeva. za svako a>0 i n iz N jednacina xⁿ=b ima rjesenje u R.
U skupu R jednacina x²= -2 nema rjesenje pa ga moramo prosiriti do skupa kompleksnih brojeva C
Ovim je zavrsen proces prosirivanja skupova brojeva. Dobili smo skupove N, Z, Q, R, C za koje vrijedi
N podskup od Z podskup od Q podskup od R podskup od C.

roza	21.09.2010 17:27
Predmet:Re: Skupovi brojeva Filon Aleksandrijski jevrejski teolog i filozof tvrdio je da je stvaranje svijeta u 6 dana mora biti istinito jer je 6 prvi savrseni broj. Savrseni broj je broj koji je jednak zbiru svojih djelitelja. Savrsenstvo broja 6=1+2+3 dovelo je do roga da sesticapostane simbolom stvaranja i dokazom postojanja Boga. savrseni brojevi su bili vazni Jevrejima. rabin Josef ben Jehuda, u svojoj knjizi Ozdravljenje duse preporucuje proucavanje savrsenih brojeva. drevni narodi bili su opcinjeni brojevima. Mozda zato sto su teskim vremenima brojevi bili jedina konstantna stvar u haoticnom svijetu.

roza

21.09.2010 17:27

Predmet:Re: Skupovi brojeva

Filon Aleksandrijski jevrejski teolog i filozof tvrdio je da je stvaranje svijeta u 6 dana mora biti istinito jer je 6 prvi savrseni broj.

Savrseni broj je broj koji je jednak zbiru svojih djelitelja.
Savrsenstvo broja 6=1+2+3 dovelo je do roga da sesticapostane simbolom stvaranja i dokazom postojanja Boga. savrseni brojevi su bili vazni Jevrejima. rabin Josef ben Jehuda, u svojoj knjizi Ozdravljenje duse preporucuje proucavanje savrsenih brojeva.

drevni narodi bili su opcinjeni brojevima. Mozda zato sto su teskim vremenima brojevi bili jedina konstantna stvar u haoticnom svijetu.

roza	21.09.2010 18:51
Predmet:Re: Skupovi brojeva Pitagorejska skola U Pitagorejskoj skoli akcenat je bio na tajnosti i zajednistvu, tako da je tesko odgonetnuti sta je rad Pitagore, a sta njegovih ucenika. Sigurno je jedno da je ova skola dala veliki doprinos matematici. Pitagorejce su interesovale osnove matematikepojam broja i trougla, ostakuh matematickih likova, dokaz. Odnosno zanimalo ih je sve ono sto se nama cini poznatim i o cemu se nema sta razmisljati.Pitagota je vjerovao da se sve relacije i odnosi mogu svesti na ioeracije sa brojevima. Poznato je Pitagorino opazanje da zice muzickog instrumenta proizvode ton u harmoniji ako su koeficienti duzina zica cijeli brojevi. Pridonio ke stvaranju matematicke teorije muzike. Bio je muzicar, svirai je liru. Koristio je muziku i lijrcenju- muzikoterapija. Proucavao je prirpdne brojeve, njihova svojstva koja su i danas poznata: parni i neparni brojevi, savrseni brojevi. Po njemu brojevi su imali osobine, muski i zenski, lijepi i ruzni, savrseni i nepotpuni. Bjbolji od svih brojeva bio je 10. Prepoznali su ga kao zbir prva 4 broja 10=1+2+3+4. Pitagora je poznat po svojoj teoremi, iako je ta teorema bila poznata starim Babiloncima 1000 godina ranije nego sto se Pitagpra rodio. Pitagora nije otkrio ovaj teorem kako mnogi mislw nego ga je prvi dolazao. Tvrdnje dokazane u pitagorejskoj skoli Zbir uglpva u trouglu jednak je zbiru dva prava ugla. Kvadrat na hipotenuzi jednak je zbiru kvadrata na ostalim dvjema stranicama u pravouglom trouglu. [kvadrat im nijr znacio mnozenje duzine stranice sa samom sobom nego je oznacavao geometrijski lik kvadrat konstruisan na stranici. Cinjenica da je zbir kvadrata jednak trecemu znacio je da se dva kvadrata mogu izrezati na likove od kojih se moze sloziti treci podudaran sa kvadratom na hipotenuzom. Otkrice iracionalnih brojeva dovelo ih je do vjerovanja da se sve moze prikazati u obliku nroja pri cemu je svaki broj koeficient 2 cijela broja. Kada su pokusali izmjeriti duzinu hipotenuze jednakokrakog pravouglog trougla bili su uzasnuti otkricem da je to nemoguce. Zbog cinjenica da postoje brojevi koji se ne mogu prikazati kao omjer dva prirodna broja dovela je do toga da su tvrdnju cuvali u tajnosti kako nebi izasla na vidjelo. U astronomiji poucavao je da je Zemlja kugla u sredistu svemira. Ustanovio je da se Mjesec nalazu pod uglom u odnosu na ekvator. Bio je jedanod prvih koji je primjetio da je Venera kao vecernja zvijezda bila isti planet kao Venera kao jutarnja zvijezda. Desetka i pitagorejci Pitagora i njegovi sljedbenici smatraku su broj 10 ssvrsenim brokem, jer je on zbir tetraktisa (cetvorke) 10=1+2+3+4. Ova cetvorka ptrdstavljala je sve gepmetrijske oblike: tacku(1), pravu(2), ravan (3) i tijelo (4). Pitagora je broj 10 smatrao prirodom jer ljudi broje do 10, a onda se vracaju nazad prema 1. Ovo je poistovjetio sa okretanjem tocka. Smatrao je da su osnovni sastojci stvari po prirodi suprotstavljeni te da je potrebna neka vrsta veze da ih ujedini i ucini produktivnim. Napravio je sistem od 10 suprotnosti: Ograniceno, neograniceno Parno, neparno Jednina,mnozina Desno, lijevo Musko, zensko Mirovanje, kretanje Ravno, zakrivljeno Svjetlo, tama Dobro, zlo Uglato, oblo Zbog savrsenstva broja smatrali su da mora postojati 10 planeta.

roza

21.09.2010 18:51

Predmet:Re: Skupovi brojeva

Pitagorejska skola
U Pitagorejskoj skoli akcenat je bio na tajnosti i zajednistvu, tako da je tesko odgonetnuti sta je rad Pitagore, a sta njegovih ucenika. Sigurno je jedno da je ova skola dala veliki doprinos matematici.
Pitagorejce su interesovale osnove matematikepojam broja i trougla, ostakuh matematickih likova, dokaz. Odnosno zanimalo ih je sve ono sto se nama cini poznatim i o cemu se nema sta razmisljati.Pitagota je vjerovao da se sve relacije i odnosi mogu svesti na ioeracije sa brojevima.
Poznato je Pitagorino opazanje da zice muzickog instrumenta proizvode ton u harmoniji ako su koeficienti duzina zica cijeli brojevi. Pridonio ke stvaranju matematicke teorije muzike. Bio je muzicar, svirai je liru. Koristio je muziku i lijrcenju- muzikoterapija.
Proucavao je prirpdne brojeve, njihova svojstva koja su i danas poznata: parni i neparni brojevi, savrseni brojevi. Po njemu brojevi su imali osobine, muski i zenski, lijepi i ruzni, savrseni i nepotpuni.
Bjbolji od svih brojeva bio je 10. Prepoznali su ga kao zbir prva 4 broja 10=1+2+3+4.
Pitagora je poznat po svojoj teoremi, iako je ta teorema bila poznata starim Babiloncima 1000 godina ranije nego sto se Pitagpra rodio.
Pitagora nije otkrio ovaj teorem kako mnogi mislw nego ga je prvi dolazao.

Tvrdnje dokazane u pitagorejskoj skoli

Zbir uglpva u trouglu jednak je zbiru dva prava ugla.
Kvadrat na hipotenuzi jednak je zbiru kvadrata na ostalim dvjema stranicama u pravouglom trouglu. [kvadrat im nijr znacio mnozenje duzine stranice sa samom sobom nego je oznacavao geometrijski lik kvadrat konstruisan na stranici. Cinjenica da je zbir kvadrata jednak trecemu znacio je da se dva kvadrata mogu izrezati na likove od kojih se moze sloziti treci podudaran sa kvadratom na hipotenuzom.
Otkrice iracionalnih brojeva dovelo ih je do vjerovanja da se sve moze prikazati u obliku nroja pri cemu je svaki broj koeficient 2 cijela broja. Kada su pokusali izmjeriti duzinu hipotenuze jednakokrakog pravouglog trougla bili su uzasnuti otkricem da je to nemoguce. Zbog cinjenica da postoje brojevi koji se ne mogu prikazati kao omjer dva prirodna broja dovela je do toga da su tvrdnju cuvali u tajnosti kako nebi izasla na vidjelo.
U astronomiji poucavao je da je Zemlja kugla u sredistu svemira. Ustanovio je da se Mjesec nalazu pod uglom u odnosu na ekvator. Bio je jedanod prvih koji je primjetio da je Venera kao vecernja zvijezda bila isti planet kao Venera kao jutarnja zvijezda.

Desetka i pitagorejci

Pitagora i njegovi sljedbenici smatraku su broj 10 ssvrsenim brokem, jer je on zbir tetraktisa (cetvorke)
10=1+2+3+4. Ova cetvorka ptrdstavljala je sve gepmetrijske oblike: tacku(1), pravu(2), ravan (3) i tijelo (4). Pitagora je broj 10 smatrao prirodom jer ljudi broje do 10, a onda se vracaju nazad prema 1. Ovo je poistovjetio sa okretanjem tocka.
Smatrao je da su osnovni sastojci stvari po prirodi suprotstavljeni te da je potrebna neka vrsta veze da ih ujedini i ucini produktivnim.
Napravio je sistem od 10 suprotnosti:

Ograniceno, neograniceno
Parno, neparno
Jednina,mnozina
Desno, lijevo
Musko, zensko
Mirovanje, kretanje
Ravno, zakrivljeno
Svjetlo, tama
Dobro, zlo
Uglato, oblo

Zbog savrsenstva broja smatrali su da mora postojati 10 planeta.

roza	22.09.2010 20:21
Predmet:Re: Skupovi brojeva Skup prirodnih brojeva Skup prirodnih brojeva oznadjavamo sa N. On je definisan na sljedeci nadjin 0={ø } 1={0} 2={1,2}... Sabiranje prirodnih brojeva Neka su dati konadjni skupovi A i B i neka je kA=a i kB=b i neka je A∩B= =ø. Broj k(AUB)= predstavlja zbir (sumu) brojeva a i b, koji su sumandi (adendi, pribrojnici). Radjunska operacija koju pri tom obavljamo je sabiranje (adicija). Za sabiranje prirodnih brojeva vazi 1. Zakon zatvorenosti a+b je prirodan broj 2. zakon komutacije a+b=b+a 3. zakon asocijacije (a+b)+c=a+(b+c) 4. zakon trihotonomije a=b ili a+c=b a=b+d Za a + c=b =>a < b, za a = b + d => a > b 5. zakon kancelacije skradjivanja ako je a+c=b+c onda je a=b Teorema a=b <= > a+c= b+c. Pod a₁+a₂+a₃, podrazunjevamo (a₁+a₂)+a₃ Pod a₁+ a₂+a₃+a₄ podrazunjevamo (a₁+a₂+a₃)+a₄ . Uopstano je a₁+ a₂+...+a_n=(a₁+a₂+...+a_m)+(a_m+1+...+a_n) Teorema a < b=> a+c< b+c dokaz a < b < => a+d=b< => a+d +c= b+c< => (a+c)+d = b+c< => a+c<b+c. Teorema (a < b & b<c) => a<c Neka je kA=a i kB=b , broj k(AxB) zovemo proizvod ( produkt, umnoznik) brojeva a i b koji su faktori (djinioci) . Proizvod oznadjavamo sa ab. Za mnozenje prirodnih brojeva vazi 1. Zakon zatvorenosti ab je prirodan broj 2. zakon komutacije ab= ba 3. zakon asocijacije (ab)c=a(bc) 4. zakon kancelacije skradjivanja ako je ac=bc onda je a=b 5. zakon distribucije mnozenja u odnosu na sabiranje (a+b)c=ac +bc. Broj b+b+b+...+b gdje pribrojnik b dolazi a puta zove se proizvod brojeva a i b . Teorema a = b => ac=bc a < b => ac < bc Arhimedova teorema Za svaka dva prirodna broja a i b postoji prirodni broj n takav da je an > b. Posmatrajmo operacije sabiranja i mnozenja u skupu N. Odjito je to preslikavanje skupa NxN u skup N definisano sa (a,b)→ a + b i analogno a(a,b)→ab. Neka je S neprazan skup. Binarna algebarska operacija (kompozicija) na skupu S je svako preslikavanje f:SxS→ S. Za algebarske operacije vrijedi 1. Zakon komutacije ako je ab=ba 2. Zakon asocijacje ako je a(bc)= ab)c Ovi zakoni ne moraju vaziti uvijek. Primjer (a,b)= 2a + 2b ab= 2a+2b= 2b + 2a= ba (ab)c = (2a+2b)c= 2(2a + 2b) + 2c= 4a+4b+2c a(bc)= 2a+2(2b+2c) = 2a+4b + 4c tj ne vazi asocijativnost. Neka su date dvije operacije i ○ kazemo da je operacija lijevo distributivna u odnosu na ○ ako vrijedi a(b○c)=(ab) ○(ac). Ako su A, B,C neprazni skupovi tada svako preslikavanje skupa AxB u C zovemo binarnom algebarskom operacijom sa AxB u C. Specijalno je A=B=C. Sam skup i skup na koji se preslikava algebarska operacija nije isto. Razlika je velika. U drugom sludjaju sa elementima skupa mozemo radjunati. Skup zajedno sa algebarskom operacijom nazivamo grupoid. Uredjen par (S,) koji cini neprazni skup S i algebarska operacija * definisana na skupu S zove se grupoid(monoid). Ako je (S* ) grupoid i e iz S onda je 1. e lijevi neutralni element u odnosu na operaciju* akoje ea=a 2. e desnii neutralni element u odnosu na operaciju akoje ae=a 3. e dvostruki neutralni element u odnosu na operaciju akoje ea=ae=a. Neutralni element za operaciju mnozenja u skupu N je e=1, a za sabiranje u skupu N₀ je e=0. Grupoid moze biti asocijativan i komutativan. Asocijativan grupoid nazivamo polugrupa. Polugrupa moze imati inverzni element. 1. x je desni inverzni element u odnosu na operaciju * ako je a * x = e 2. x je lijevi inverzni element u odnosu na operaciju * akoje x * a = e 3. x je dvostruki inverzni element u odnosu na operaciju * ako je a * x =x * a = e Grupa je polugrupa koja ima neutralni i inverzni element. Polugrupa (S, ) s dvostrukim inverznim elementom ima najvise jedan inverzni element Dokaz x₁= x₁ e = x1 (a * x₀) = (x₁ * a )* = x₀ Neka je (S,○) polugrupa i neka je ≤ linearno uredjajna relacija sa osobinom: Ako je a < b onda je a ○ c < b ○ c, tada sistem (S,○,<) zovemo uredjenom polugrupom. Primjer Polugrupe (N,+) i (N,) su uredjene polugrupe u odnosu na relaciju ≤. Za (S,○) i (S1 , °) grupidi. Za grupoid (S,○) kazemo da je izomorfan ( izos + morphe →istog oblika) grupoidu (S1, °) ako i samo ako postoji f:S→ S1 tako da je f(a ○ b ) → a ° b. Oduzimanje prirodnih brojeva* Od broja a oduzeti broj b znadji naci broj d takav da je a = b+d. Broj a je razlika ili diferencija brojeva a i b, broj a minuend ili umanjenik, a b suptrahend ili umanjitelj. Odjigledno u skupu N ne vrijedi zakon zatvorenosti tj a-b nije iz N za svaki par a i b. Primjer 2-3 nije iz N Dijeljenje u skupu prirodnih brojeva Podijeliti broj a brojem b znadji naci broj q takav da je a = bq. N. Broj a je kvocijent ili kolidjnik brojeva a i b, broj a je dividend ili djeljenik, a b je divizor ili djelitelj. U skup N ne vrijedi zakon zatvorenosti za dijeljenje tj za svaki par a i b nije a / b iz N. Primjer 5 / 3 nije iz N

roza

22.09.2010 20:21

Predmet:Re: Skupovi brojeva

Skup prirodnih brojeva

Skup prirodnih brojeva oznadjavamo sa N. On je definisan na sljedeci nadjin 0={ø } 1={0} 2={1,2}...
Sabiranje prirodnih brojeva

Neka su dati konadjni skupovi A i B i neka je kA=a i kB=b i neka je A∩B= =ø. Broj k(AUB)= predstavlja zbir (sumu) brojeva a i b, koji su sumandi (adendi, pribrojnici). Radjunska operacija koju pri tom obavljamo je sabiranje (adicija). Za sabiranje prirodnih brojeva vazi
1. Zakon zatvorenosti a+b je prirodan broj
2. zakon komutacije a+b=b+a
3. zakon asocijacije (a+b)+c=a+(b+c)
4. zakon trihotonomije a=b ili a+c=b a=b+d Za a + c=b =>a < b, za a = b + d => a > b
5. zakon kancelacije skradjivanja
ako je a+c=b+c onda je a=b

Teorema
a=b <= > a+c= b+c.

Pod a₁+a₂+a₃, podrazunjevamo (a₁+a₂)+a₃ Pod a₁+ a₂+a₃+a₄ podrazunjevamo (a₁+a₂+a₃)+a₄ .
Uopstano je
a₁+ a₂+...+a_n=(a₁+a₂+...+a_m)+(a_m+1+...+a_n)

Teorema
a < b=> a+c< b+c
dokaz
a < b < => a+d=b< => a+d +c= b+c< => (a+c)+d = b+c< => a+c<b+c.

Teorema
(a < b & b<c) => a<c
Neka je kA=a i kB=b , broj k(AxB) zovemo proizvod ( produkt, umnoznik) brojeva a i b koji su faktori (djinioci) . Proizvod oznadjavamo sa ab.

Za mnozenje prirodnih brojeva vazi

1. Zakon zatvorenosti ab je prirodan broj
2. zakon komutacije ab= ba
3. zakon asocijacije (ab)c=a(bc)
4. zakon kancelacije skradjivanja ako je ac=bc onda je a=b
5. zakon distribucije mnozenja u odnosu na sabiranje
(a+b)c=ac +bc.

Broj b+b+b+...+b gdje pribrojnik b dolazi a puta zove se proizvod brojeva a i b .

Teorema
a = b => ac=bc a < b => ac < bc

Arhimedova teorema

Za svaka dva prirodna broja a i b postoji prirodni broj n takav da je an > b.
Posmatrajmo operacije sabiranja i mnozenja u skupu N. Odjito je to preslikavanje skupa NxN u skup N definisano sa
(a,b)→ a + b i analogno
a(a,b)→ab.
Neka je S neprazan skup. Binarna algebarska operacija (kompozicija) na skupu S je svako preslikavanje f:SxS→ S. Za algebarske operacije vrijedi

1. Zakon komutacije ako je a*b=b*a
2. Zakon asocijacje ako je a*(b*c)= a*b)*c
Ovi zakoni ne moraju vaziti uvijek.

Primjer
(a,b)= 2a + 2b
a*b= 2a+2b= 2b + 2a= b*a
(a*b)*c = (2a+2b)*c= 2(2a + 2b) + 2c= 4a+4b+2c
a*(b*c)= 2a+2(2b+2c) = 2a+4b + 4c
tj ne vazi asocijativnost.
Neka su date dvije operacije * i ○ kazemo da je operacija lijevo distributivna u odnosu na ○ ako vrijedi
a*(b○c)=(a*b) ○(a*c).

Ako su A, B,C neprazni skupovi tada svako preslikavanje skupa AxB u C zovemo binarnom algebarskom operacijom sa AxB u C. Specijalno je A=B=C.
Sam skup i skup na koji se preslikava algebarska operacija nije isto. Razlika je velika. U drugom sludjaju sa elementima skupa mozemo radjunati.
Skup zajedno sa algebarskom operacijom nazivamo grupoid. Uredjen par (S,*) koji cini neprazni skup S i algebarska operacija * definisana na skupu S zove se grupoid(monoid). Ako je (S* ) grupoid i e iz S onda je
1. e lijevi neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a
2. e desnii neutralni element u odnosu na operaciju* akoje a*e=a
3. e dvostruki neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a*e=a.

Neutralni element za operaciju mnozenja u skupu N je e=1, a za sabiranje u skupu N₀ je e=0.
Grupoid moze biti asocijativan i komutativan. Asocijativan grupoid nazivamo polugrupa. Polugrupa moze imati inverzni element.

1. x je desni inverzni element u odnosu na operaciju * ako je
a * x = e
2. x je lijevi inverzni element u odnosu na operaciju * akoje
x * a = e
3. x je dvostruki inverzni element u odnosu na operaciju * ako je a * x =x * a = e
Grupa je polugrupa koja ima neutralni i inverzni element.
Polugrupa (S, *) s dvostrukim inverznim elementom ima najvise jedan inverzni element
Dokaz
x₁= x₁ * e = x1 (a * x₀) = (x₁ * a )* = x₀

Neka je (S,○) polugrupa i neka je ≤ linearno uredjajna relacija sa osobinom: Ako je a < b onda je a ○ c < b ○ c, tada sistem (S,○,<) zovemo uredjenom polugrupom. Primjer Polugrupe (N,+) i (N,*) su uredjene polugrupe u odnosu na relaciju ≤. Za (S,○) i (S1 , °) grupidi. Za grupoid (S,○) kazemo da je izomorfan ( izos + morphe →istog oblika) grupoidu (S1, °) ako i samo ako postoji f:S→ S1 tako da je f(a ○ b ) → a ° b.

Oduzimanje prirodnih brojeva

Od broja a oduzeti broj b znadji naci broj d takav da je a = b+d.
Broj a je razlika ili diferencija brojeva a i b, broj a minuend ili umanjenik, a b suptrahend ili umanjitelj.
Odjigledno u skupu N ne vrijedi zakon zatvorenosti tj a-b nije iz N za svaki par a i b.
Primjer 2-3 nije iz N

Dijeljenje u skupu prirodnih brojeva
Podijeliti broj a brojem b znadji naci broj q takav da je a = bq. N. Broj a je kvocijent ili kolidjnik brojeva a i b, broj a je dividend ili djeljenik, a b je divizor ili djelitelj.
U skup N ne vrijedi zakon zatvorenosti za dijeljenje tj za svaki par a i b nije a / b iz N.
Primjer
5 / 3 nije iz N