Centar za edukaciju-BiH

Predmet:Polinomi

---

U matematici, polinom je izraz koji je sacinjen od jedne ili vise promjenljivih i konstanti, koriscenjem operacija:
sabiranja,
oduzimanja,
mnozenja,
stepenovanja pozitivnim cijelim stepenima.

Primjer

x³ + 10x + -9, je polinom.

Treba imati u vidu da dijeljenje izrazom koji sadrzi promjenljivu u opstem slucaju nije dozvoljeno kod polinoma.

Polinomi su sacinjeni od gradivnih elemenata koji se nazivaju monomi, a oni se sastoje od konstante (koja se naziva koeficijentom), pomnozene jednom ili vise promenljivih (koje se obicno predstavljaju slovima).
Svaka promenljiva moze imati konstantan pozitivan cio broj kao eksponent. Eksponent nad promenljivom u monomu je jednak stepenu te promenljive u monomu.

Kako je x = x¹, stepen promenljive bez zapisanog eksponenta je jedan.
Monom bez promjenljivih se naziva konstantnim monomom, ili prosto konstantom.

Stepen konstante je 0.

Koeficijent monoma moze biti bilo koji broj, ukljucujuci razlomke, iracionalne i negativne brojeve.

Primjer
-5x²y je monom. Koeficijent je -5, a promenljive su x i y. Stepen promjenljive x je dva, a stepen promjenljive y je jedan.
Stepen cijelog monoma je zbir stepeni svake promjenljive u njemu. U gornjem primjeru je stepen jednak 2 + 1 = 3.

Polinom predstavlja zbir jednog ili vise monoma. Na primjer, ovo je jedan polinom:
3x² - 5x + 4.
Sastoji se od tri monoma: prvi je stepena dva, drugi je stepena jedan, a treci je stepena nula.
Polinom se obicno zapisuje tako da monomi viseg stepena dolaze prije onih nizeg stepena. U prvom monomu, koeficijent je 3, promjenljiva je x, a eksponent je dva. U drugom monomu, koeficijent je -5. Treci je konstanta. Stepen polinoma je najveci stepen nekog njegovog monoma.

Na primjer, gornji polinom ima stepen dva.

Polinom stepena jedan se naziva linearni, polinom stepena dva se naziva kvadratni, a onaj stepena tri se naziva kubni.

Polinom sacinjen od jednog monoma se i sam naziva monom. Polinom sacinjen od dva monoma je binom, dok je onaj sacinjen od tri monoma naziva trinom.
Izraz koji se moze transformisati u polinom kroz niz primjena komutativnih, asocijativnih, i distributivnih zakona se obicno i sam smatra polinomom.

Primjer

(x³/12 se smatra polinomom, jer je ekvivalentno (1)/(12)x³. Koeficijent je 1/12

1/(x² + 1) nije polinom, jer ukljucuje deljenje promjenljivom, kao sto u opstem slucaju nije ni (5 + y ) ^x, jer ima promjenljivu za eksponent.

Kako se oduzimanje moze posmatrati kao sabiranje sabiraka suprotnog znaka, a stepenovanje konstantnim pozitivnim brojem se moze posmatrati kao ponovljeno mnozenje, polinomi se mogu konstruisati od konstanti i promenljivih primjenom samo operacija sabiranja i mnozenja.

---

Predmet:Re: Polinomi

---

Kvadrat binoma (kvadrat razlike i kvadrat zbira)

(a+b)²=a²+2ab+b²

Prvi plus drugi na kvadrat jednako je prvi na kvadrat plus dvostruki prvi puta drugi plus drugi na kvadrat

(a-b)²=a²-2ab+b²

Prvi minus drugi na kvadrat jednako je prvi na kvadrat minus dvostruki prvi puta drugi plus drugi na kvadrat

Razlika kvadrata

a²+b²=(a-b)(a+b)

primjer

x⁴-y⁴=(x²+y²)(x²- y²)=(x²+y²)(x+y)(x-y)

---

Predmet:Re: Polinomi

---

Kvadrat binoma (kvadrat razlike i kvadrat zbira)

(a+b)²=a²+2ab+b²

Prvi plus drugi na kvadrat jednako je prvi na kvadrat plus dvostruki prvi puta drugi plus drugi na kvadrat

(a-b)²=a²-2ab+b²

Prvi minus drugi na kvadrat jednako je prvi na kvadrat minus dvostruki prvi puta drugi plus drugi na kvadrat

Razlika kvadrata

a²+b²=(a-b)(a+b)

primjer

x⁴-y⁴=(x²+y²)(x²- y²)=(x²+y²)(x+y)(x-y)

---

Predmet:Re: Polinomi

---

Uradjeni jednostavni primjeri

Zadatak 1

5a+5b=5(a+b)

2a+4b=2(a+2b)

ab+ac=a(b+c)

x ²+x=v*x +x*1=x(x+1)

14ab³-7b⁴=7b³(2a-b)

3ax+3bx=3x(a+b)

15a²+5ab=5a(a+b)

8x²-4x²y=4x²(2-y)

Zadatak 2

a^{^(b+1})-a=a(a^{^b}-1)

a^x+a^x+1=a^x(1+a)

4x^(a+2)+12x^a=4x^a(x² + 3)

---