Centar za edukaciju-BiH

Predmet:Procentni racun

---

Procentni racun predstavlja nacine odredjivanja zavisnosti sljedecih velicina:
1.    glavnice
2.    procentne stope
3.    procentnog prinosa.

GLAVNICA-G je osnovna vrijednost u odnosu na koju se racunaju povecanja ili smanjenja za datu procentnu stopu.
PROCENTNA STOPA- p predstavlja broj koji pokazuje za koliko se jedinica menja(povecava ili smanjuje) glavnica na svakih svojih 100 jedinica.
PROCENTNI PRINOS-P predstavlja velicinu koja pokazuje ukupnu promjenu glavnice G pri procentnoj stopi p.
Procentna stopa p je velicina izrazena u procentima (npr p=25%) ali cemo nju uvijek dijeliti sa 100 i koristiti njen decimalni zapis ( p=0.25).

Procentni racun od 100

Pri datoj procentnoj stopi p velicine G i P su direktno proporcionalne tj ako je veca glavnica G veci je i procentni prinos P sto moze i sematski da se predstavi:
G...100%
P...p%

Formirajuci odavde proporciju dobijamo
G : P = 100 : p

ili ako stopu p koristimo u decimalnom zapisu dobijamo
G : P = 1 : p
Odavde dobijamo G=P/p , P=Gp , p=P/G

Primjer 1

Ako je od 150 studenata koji su polagali ispit 78% studenta polozilo, koliko je studenata palo ispit ?
Ako među prelaznim ocjenama ima 42 ocjene 6, 23 ocjena 7, 15 ocjena 8 , 12 ocjena 9 a ostalo su desetke izrazi broj prelaznih ocena u procentima.

G=150 ,
p=78%=0.78
G:P=1:p
150:P=1:0.78
P= 150* 0.78 tj P=117 .
Znači 117 studenata je polozilo ispit a palo je
150-117=33 studenta

Ocjenu 8 dobilo je 15 studenata ili
117:15=1:p tj p=0.1282=12.82%

Ocjenu 9 dobilo je 12 studenata ili
117:12=1:p tj p=0.10256=10.256%

Preostalih 117-(42+23+15+12)=25 studenata dobilo je 10 ili procentualno
100%-(35.897%+19.658%+12.82%+10.256%)=
=28.369%

Procentni racun vise 100 i procentni racun nize 100

Cesto se u prakticnim problemima pojavljuje uvecana ili umanjena glavnica G za odgovarajuci procentni prinos P pri zadatoj stopi p tako da nam je umjesto G poznato G+P ili G-P.

U prvom slucaju G+P radi se o procentnom racunu vise 100 (ili na 100) a u drugom slucaju G-P radi se o procentnom racunu nize 100 ( ili u 100).

Do odgovarajucih formula dolazimo rezonujuci na isti nacin ili koristeci osobine proporcije tako da iz
G : P = 1 : p dobijamo
(G ± P):P=(1± p):p ili
(G ± P):G=(1 ± p):1
Odakle dobijamo

p=(G±P)p/(1±p) ili
G=(G±P)/(1±p)

Primjer2

Ako je cijena neke robe sa porezom od 8% 24840 KM koliko iznosi cijena bez poreza?

Dato je p=8%=0.08 , G+P=24840 i treba izracunati G. Kako je
G=(G±P)/(1±p)
znaci
G = 24840/(1+0,08) tj G=24840/1,08
pa dobijamo da je cena bez poreza G=23000 KM

---

Predmet:Re: Procentni racun

---

Primjena procentnog racuna

Ako se glavnica G₀ uzastopno mijenja po razlicitim stopama
svaka sljedeca promjena se racuna na glavnicu dobijenu poslije prethodne promjene.

Znaci ako se glavnica G ₀ prvo promjeni (poveća ili smanji ) po stopi p ₁
tada je nova vrijednost glavnice
G ₁=G ₀ ± P ₁
a kako je P ₁=G ₀*p₁ dobijamo

G ₁ =G ₀ ± P ₁ = G ₀ ± G ₀ p ₁ = G ₀( 1± p ₁).

Znaci G ₁ = G₀( 1± p₁)

Poslije druge promjene po stopi p ₂ nova vrijednost glavnice je
G₂=G₁±P₂= [kako je P ₂=G₁p₂) =G₁ ± G₁p₂ =G₁(1± p ₂)=[kako je G ₁=G ₀(1± p ₁)] = G ₀(1 ± p ₁)(1± p₂)

Znaci
G ₂ = G ₀(1± p ₁)(1± p ₂)

Na isti nacin dobijamo da se poslije n uzastopnih promjena po razlicitim procentnim
stopama p ₁, p ₂,... p _n krajnja vrijednost glavnice G ₀ dobija po formuli :
G _n = G ₀(1± p ₁)( 1± p ₂)...(1 ± p _n)

---

Predmet:Re: Procentni racun

---

Do stope ukupne promjene p _u tj stope koja pokazuje koliko se ukupno procentualno pocetna vrijednost promjenila, dolazimo na sljedeci nacin:

Ako se krajnja vrijednost glavnice dobija samo sa jednom procentnom stopom, umjesto n uzastopnih promjena po razlicitim procentnim stopama pi ,tada je
G _n =G ₀(1± p _u).
Kako je
G _n = G ₀(1 ± p ₁)(1 ± p ₂ )...(1± p _n)

Dobijamo
G₀ (1± p_u ) = G₀(1± p₁ )(1± p₂)...(1± p_n )
Ako lijevu i desnu stranu podijelimo sa G0 dobijamo:
1 ± p_{u [/sub = (1± p[sub]1} )(1 ± p₂ )...(1 ± p_n )
tj
p_u = (1 ± p₁)( 1 ± p₂)...(1 ± p_n)

Ako je stopa p_u pozitivna znaci da je sa n uzastopnih promjena doslo do povecanja glavnice G₀ tj da je krajnja vrijednost veca od pocetne (G_n > G₀ ).

Ako je stopa p_u negativna znaci da su sukcesivne promjene dovele do smanjenja pocetne vrijednosti (G_n<G₀).

Primjer
Poslije dva poskupljenja po stopama od 12,6% i 18,3% i jednog pojeftinjenja od 22,5% cijena neke robe je 4526 KM. Kolika je pocetna cijena robe? Da li je krajnja cijena veca od pocetne i koliko ta razlika iznosi u KM i procentima?

p₁=+12.6%= +0.126 p₂=+18.3%= 0.183
p₃= -22.5%= -0.225
G_n= 4526

Kako je G[subn][/sub] = G₀(1± p₁)( 1± p₂)...(1± p_n) pa imamo
4526= G₀(1+0,126)(1+0,183)(1-0,225)
4526= G₀* 1,03234495
G₀=4384,19 KM

G_n> G₀ i ta razlika u je
4526-4384,9=141,81 KM
u procentima
p_u= (1+0.126)(1+0.183)(1-0.225)-1=0.0323
p_u=3.23%.

---

Predmet:Re: Procentni racun

---

Ako zelimo da promenjenu
(povecanu ili smanjenu) glavnicu G_n vratimo na pocetnu vrijednost G₀ dobijamo stopu p₀ tj stopu vracanja na pocetni nivo na sledeci način :
Za G_n >G₀, krajnju vrijednost G_n treba umanjiti za procentni prinos P koji izracunavamo u odnosu na G_n po stopi p₀

tj
P = G_n*p sub]0[/sub]
tako da je
G₀= G_n-P = G_n-G_np₀= G_n(1-p₀)
Kako je G_n=G₀(1+p_u)

Dobijamo

G₀= G₀(1+p_u)(1-p₀) / : G₀
1= (1+p_u)(1-p₀)
odakle je trazena stopa vracanja krajne vrijednosti na pocetni nivo je
p₀=1-1/(1+p_u)=p_u/(1+p_u)

Iz p₀=p_u[1/(1+p_u) za 1+p_u<1
Dobijamo p₀<p_u
Znaci stopa p₀, po kojoj uvecanu glavnicu G_n treba umanjiti da bi se dobila prvobitna vrijednost G₀, je manja od stope p_u po kojoj je glavnica G₀ uvecana da bi se dobilo G_n.

---

Predmet:Re: Procentni racun

---

Ako je G_n < G₀ na isti nacin rezonujuci dobijamo da je stopa vracanja tj uvecanja krajnje vrijednosti na nivo G₀ dobijamo po formuli

Kako je ovde p₀=p_u[1/(1-p_u] i pri tome je 1/(1-p_u)>1 imamo p₀>p_u

Dakle stopa p₀, po kojoj umanjenu glavnicu G_n treba uvecati da bi se dobila prvobitna vrijednost G₀, je veca od stope p_u po kojoj je glavnica G₀ umanjena da bi se dobilo G_n.

---

Predmet:Re: Procentni racun

---

Zadaci

Аkо se u zadatku kaze da se nesto povecava za Х%, onda је p =(100+Х)%.
Ако se u zadatku kaze da se nesto smanjuje za Х%, onda је p =(100-Х)%

U datom zadatku iz procentnog racuna, najprije se odredi sta nam je zadato: G, P ili
p . Ubacimo te podatke u G:P=100: p i nadjemo nepoznatu velicinu.

Zadatak 1

Trideset procenta jedne duzine iznosi 42cm. Kolika je duzina citave duzi?

Zadatak 2

Cijena cipela je 2.70KM. Kolika će biti cijena nakon snizenja od 15%?

Zadatak 3

Poslije prelaska na novo radno mjesto jednom radniku je plata povecana za 20%. Kolika
mu je bila plata ako je to povecanje 3.20 KM?

---

Predmet:Re: Procentni racun

---

Zasad ovoliko

Nadam se da cu sljedeci put naci bar pokusaj trjesenja zadatka, Nije tesko,

---

Predmet:Re: Procentni racun

---

G:42=100:30
G=42*100/30=140
Duzina duzi je 140 cm

---

Predmet:Re: Procentni racun

---

p=100-15=85

G:270=100:85
G=270*85/100
G=229,5 KM

---

Predmet:Re: Procentni racun

---

G:320=100:20
G=320*100/20
G=1600 KM

---