Centar za edukaciju-BiH

Predmet:Vietove formule

---

Izraz
P_n (x)=a_n xⁿ+a_n-1 x^n-1+⋯+a₁x+a₀ gdje su
(a_n) konstante i n≥1 za a_n≠0 i n>1 je POLINOM n-tog stepena po x.
Za a_n=a_n-1=...=a1=o, a₀=0 polinom P_n je polinom nultog stepena.
Ako je a_n=a_n-1=...=a₁=o, a₀=0 odnosno P_n≡0 onda je P_n nula polinoma.

Polinomi
P_n (x)=a_n xⁿ+a_n-1) x^n-1+⋯+a₁ x+a₀ i
Q_m (x)=b_m x^m+ba_m-1 x^m-1+⋯+b₁ x+b₀ su jednaki samo ako su istog stepena i ako su im koeficienti jednaki, tj m = n i a_i = b_i (1 ≤ i ≤ n).
Nula polinoma P_n je x₀ za koje je P_n(x₀)=0
P_n(x)=0 jeALGEBARSKA JEDNACONA n-tog stepena cija su rjesenja nule polinoma P_n(x).
Za svaka dva polinoma P_n (x) i Q_m (x) n ≥ m postoje polinomi S_k(x) i
R_l(x) takvi da je P_n(x) = Q_m(x) * S_k(x) + R_l(x) pri cemu je l < m ili je R_l(x) ≡ 0, a k + m = n.
Polinom S_k(x) je rezultat diobe polinoma P_n(x) i polinomom Q_m(x) a R_l(x) je ostatak pri diobi polinoma P_n(x) polinomom Q_m(x).

Bezuov stav
Pri diobi polinoma P_n(x) polinomom prvog stepena (x-a) ostatak je jednak P(a).
Posljedica Bezuovog stava:
Ako je a nula polinoma, onda je polinom P_n(x) djeljiv polinomom (x-a) bez ostatka, pa je P_n(x) = a_nQ_n-1(x)* (x-a)
Ako su x₁; x₂, ..., x nule polinoma, tada je
P_n(x) = a_n(x- x₁)(x- x₂)... (x- x_n)
Ako je
P_n(x) = a_n(x- a)k * Q_m(x) tada je a nula k-tog reda polinoma.

Primjer
Za polinom
f(x) = x³ - 5x² + 8x - 4 = (x . 2)²(x - 1)
x = 2 je nula drugog reda, a x = 1 nula prvog reda.
Za polinom
f(x) = x⁴ + 2x² + 1 = (x - i)^{[/sup]2(x + i)[sup]2}
x = i i x = -i su nule drugog reda.

Osnovni stav algebre
Svaki polinom reda n ≥ 1 ima n (realnih ili kompleksnih, ne obavezno razlicitih medju sobom) nula x₁; x₂, x_n.
Odnosno nula k-tog reda racuna kao k (istih) nula.

---

Predmet:Re: Vietove formule

---

Izmedju koeficjenata polinoma { a_i}i nula polinoma {x_k} vaze jednakosti:
x₁ + x₂ + ... + x_n-1 + x_n = -a_n-1/a_n
(x₁x₂ +x₁x₃ +...+x₁x_n)+(x₂x₃ +x₂x₄ +...+x₂x_n)+...+x_n-1x_n = a_n-2/a_n
...
x₁x₂ ... x_n = (-1)ⁿ a₀/a_n

Vietove formule za polinom drugog stepena
P(x) = ax²+bx+c
cije su nule x₁ i x₂ glase:
x₁ + x₂ = -b/a
x₁x₂ = c/a
a za polinom treceg stepena P(x) = ax³ + bx² + cx + d cije su nule x₁, x₂ i x₃:
x₁ + x₂ + x₃ = -b/a
x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a
x₁x₂x₃ = -d/a.

Ako su svi koeficienti {a_i} polinoma P_n(x) realni, a polinom ima kompleksnu nulu α + iβ reda k, tada je α-iβ kompleksna nula tog polinoma reda k.
Kod polinoma sa realnim koeficientima, kompleksne nule se javljaju u parovima: kao kompleksan broj z i njemu konjugovano kompleksan broj z´.
Svaki polinom n-tog stepena sa realnim koeficientima moze da se faktorizuje, odnosno napise u obliku

P_n(x) = a_n(x-x₁)^k₁(x-x₂)^k₂ ...(x-x_i)^k_i(x²+b₁x+c₁)^l₁(x²+b₂x+c₂)^l₂... (x²+b_jx+c_j)^l_j

za k₁ + k₂ + ... + k_i + 2(l₁ + l₂ + ... + l_j = n pri cemu su a_n, x₁, x, ... , x_i, b₁, b_2, ..., b_j , c₁, c₂,..., cj
realni brojevi, a polinomi x₂ + b_jx + c_j nemaju realnih nula. Svakoj nuli k-tog reda a odgovarace jedan faktor oblika (x - a)^k a svakom paru konjugovano kompleksnih nula k-tog reda α±iβ faktor oblika (x² +bx+c)^k
gde su α±iβ kompleksna rjesenja kvadratne jednacine x² + bx + c = 0.

---

Predmet:Re: Vietove formule

---

Zadatak 1

Naci polinom S(x) i R(x) tako da je
P(x) = S(x) *Q(x) + R(x)
gdje je P(x) = x⁴ + 3x³ + x - 1 i Q(x) = x² - 1.

Zadatak 2

Naci nule polinoma
P₅(x) = x⁵ - 4x⁴ + 6x³ - 6x² + 5x - 2

---