Predmet:Vietove formule
Izraz
P
n (x)=a
n x
n+a
n-1 x
n-1+⋯+a
1x+a
0 gdje su
(a
n) konstante i n≥1 za a
n≠0 i n>1 je POLINOM n-tog stepena po x.
Za a
n=a
n-1=...=a1=o, a
0=0 polinom P
n je polinom nultog stepena.
Ako je a
n=a
n-1=...=a
1=o, a
0=0 odnosno P
n≡0 onda je P
n nula polinoma.
Polinomi
P
n (x)=a
n x
n+a
n-1) x
n-1+⋯+a
1 x+a
0 i
Q
m (x)=b
m x
m+ba
m-1 x
m-1+⋯+b
1 x+b
0 su jednaki samo ako su istog stepena i ako su im koeficienti jednaki, tj m = n i a
i = b
i (1 ≤ i ≤ n).
Nula polinoma P
n je x
0 za koje je P
n(x
0)=0
P
n(x)=0 jeALGEBARSKA JEDNACONA n-tog stepena cija su rjesenja nule polinoma P
n(x).
Za svaka dva polinoma P
n (x) i Q
m (x) n ≥ m postoje polinomi S
k(x) i
R
l(x) takvi da je P
n(x) = Q
m(x) * S
k(x) + R
l(x) pri cemu je l < m ili je R
l(x) ≡ 0, a k + m = n.
Polinom S
k(x) je rezultat diobe polinoma P
n(x) i polinomom Q
m(x) a R
l(x) je ostatak pri diobi polinoma P
n(x) polinomom Q
m(x).
Bezuov stav
Pri diobi polinoma P
n(x) polinomom prvog stepena (x-a) ostatak je jednak P(a).
Posljedica Bezuovog stava:
Ako je a nula polinoma, onda je polinom P
n(x) djeljiv polinomom (x-a) bez ostatka, pa je P
n(x) = a
nQ
n-1(x)* (x-a)
Ako su x
1; x
2, ..., x nule polinoma, tada je
P
n(x) = a
n(x- x
1)(x- x
2)... (x- x
n)
Ako je
P
n(x) = a
n(x- a)k * Q
m(x) tada je a nula k-tog reda polinoma.
Primjer
Za polinom
f(x) = x
3 - 5x
2 + 8x - 4 = (x . 2)
2(x - 1)
x = 2 je nula drugog reda, a x = 1 nula prvog reda.
Za polinom
f(x) = x
4 + 2x
2 + 1 = (x - i)
[/sup]2(x + i)[sup]2
x = i i x = -i su nule drugog reda.
Osnovni stav algebre
Svaki polinom reda n ≥ 1 ima n (realnih ili kompleksnih, ne obavezno razlicitih medju sobom) nula x
1; x
2, x
n.
Odnosno nula k-tog reda racuna kao k (istih) nula.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj