Centar za edukaciju-BiH

Predmet:Padovanov niz

---

Posmatrajmo spiralu jednakostranicnih trouglova

Neka je zadan jednakostranican trougao ABC takav da je
AB=BC=AC=1



Nad stranicom BC ovoga trougla konstruisemo novi jednakostranican trougao BCD. Dobijamo jednakostranicni romb ABCD.

Nad stranicom CD konstruisemo jednakostranican trougao CDE. Dobijamo trapez ABDE.

---

Predmet:Re: Padovanov niz

---

Postupak provodimo dalje tako da u k-tom koraku nad nekom od dobijenih duzina konstrusemo jednakostranican trougao takav da je duzina njegove stranice jednaka zbiru duzina stranica konstruisanih u koracima (k - 2) i (k -3). Konkretno, u trecem koraku nad nekom od dobijenih duzina konstruisemo jednakostranican trougao duzine 1 + 1 = 2 (jer smo u prvom koraku konstruisali trougao BCD cije su stranice duzine 1, dok je nulti korak zapravo zadavanje trougla ABC cije su stranice duzine 1). Jedina takva duzina je AE, pa dobijamo petougao ABCDEF.



U cetvrtom koraku konstruisemo jednakostranican trougao nad nekom od prikazanih duzina kojima je duzina jednaka 2 (jer smo u drugom i trecem koraku konstruisali trougao cije stranice imaju duzinu 1). Dvije su mogucnosti: izabrati duzinu AF ili duzinu EF. Dobijamo petougao ABDGF. Ovaj korak ujedno je bio i posljednji u kojemu smo mogli izabrati nad kojom cemo dužinom konstruisati sljedeci jednakostranican trougao.

U petom koraku na nekom od duzina sa slike treba konstruisati jednakostranican trougao cija je stranica duzine 2+1 = 3 (jer smo u cetvrtom i trecem koraku konstruisali trougaoe cije stranice imaju duzine 2, odnosno 1). Jedina duz na slici cija je duzina jednaka 3 je duz DG, pa se sljedeci jednakostranican trougao konstruise upravo nad tom duzinom. Na slici je prikazan rezultat provodjenja opisanog postupka ukupno k =7 puta. Jedno od osnovnih osobina ovako dobijenog lika jest: ako krenemo iz trougla AEF i obilazimo sve trouglove onim redom kojim smo ih konstruisali, nasa putanja bit ce spiralna. Zbog toga se cesto kaze da smo na gore opisani nacin konstruisali spiralu jednakostranicnih trouglova. Ova geometrijska konstrukcija posluzit ce nam da definisemo Padovanov niz.

---

Predmet:Re: Padovanov niz

---

Niz prirodnih brojeva (P_n)_{{n iz N[sub]0}}[/sub] definisan sa

P_n = P_n-2 + P_n-3

P₀ = P₁ = P₂ = 1

naziva se Padovanov niz.

Prvih nekoliko clanova toga niza su: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, . . .

a svaki prirodan broj n≥ 5 vrijedi

P_n = P_n-1 + P_n-5

Iz relacije

P_n = P_n-2 + P_n-3

slijede jednakosti

P_n-1 = P_n-3 + P_n-4 za svaki n ≥ 4

P_n-2 = P_n-4 + P_n-5 za svaki n ≥ 5

Izrazimo li iz prve jednakosti vrijednost P_{n-4} i uvrstimo li je u drugu , dobit cemo

P_n-2 = P_n-1-P_n-3 + P_n-5

odnosno

P_n-2 + P_n-3 = P_n-1 + P_n-5 za svaki n ≥ 5

Lijeva strana ove jednakosti je prema

P_n = P_n-2 + P_n-3 jednaka P_n, pa slijedi tvrdnja

P_n = P_n-1 + P_n-5

Geometrijska interpretacija :

Duzina stranice jednakostranicnoga trougla konstruisanog u k-tom koraku jednaka je zbiru duzina stranica trougla konstruisanih u koracima k-1 i k - 5. Valjanost te propozicije za kiz ({5, 6, 7}) lako se moze provjeriti pomocu slike.

Clanovi Padovanova niza mogu se (teoretski) definisati i za negativne cjelobrojne vrijednosti varijable n.

Clanovi Padovanova niza mogu se (teoretski) definisati i za negativne cjelobrojne vrijednosti varijable n.

P_n+3 = P_n+1 + P_n (svako l n iz N₀)

a odavde je

P_n = P_n+3 - P_n+1 ( svako n iz N₀)
Uvrstimo li formalno n = -1, dobit cemo

P_-1 = P₂ - P₀ = 1 - 1 = 0

Na potpuno analogan nacin racunamo P_-2, P_-3 itd. Tako dobijamo prosireni Padovanov niz:

. . . , 2,-1, 0, 1,-1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, . .

---