Predmet:Re: Skupovi brojeva
Skup prirodnih brojeva
Skup prirodnih brojeva oznadjavamo sa N. On je definisan na sljedeci nadjin 0={ø } 1={0} 2={1,2}...
Sabiranje prirodnih brojeva
Neka su dati konadjni skupovi A i B i neka je kA=a i kB=b i neka je A∩B= =ø. Broj k(AUB)= predstavlja zbir (sumu) brojeva a i b, koji su sumandi (adendi, pribrojnici). Radjunska operacija koju pri tom obavljamo je sabiranje (adicija). Za sabiranje prirodnih brojeva vazi
1. Zakon zatvorenosti a+b je prirodan broj
2. zakon komutacije a+b=b+a
3. zakon asocijacije (a+b)+c=a+(b+c)
4. zakon trihotonomije a=b ili a+c=b a=b+d Za a + c=b =>a < b, za a = b + d => a > b
5. zakon kancelacije skradjivanja
ako je a+c=b+c onda je a=b
Teorema
a=b <= > a+c= b+c.
Pod a
1+a
2+a
3, podrazunjevamo (a
1+a
2)+a
3 Pod a
1+ a
2+a
3+a
4 podrazunjevamo (a
1+a
2+a
3)+a
4 .
Uopstano je
a
1+ a
2+...+a
n=(a
1+a
2+...+a
m)+(a
m+1+...+a
n)
Teorema
a < b=> a+c< b+c
dokaz
a < b < => a+d=b< => a+d +c= b+c< => (a+c)+d = b+c< => a+c<b+c.
Teorema
(a < b & b<c) => a<c
Neka je kA=a i kB=b , broj k(AxB) zovemo proizvod ( produkt, umnoznik) brojeva a i b koji su faktori (djinioci) . Proizvod oznadjavamo sa ab.
Za mnozenje prirodnih brojeva vazi
1. Zakon zatvorenosti ab je prirodan broj
2. zakon komutacije ab= ba
3. zakon asocijacije (ab)c=a(bc)
4. zakon kancelacije skradjivanja ako je ac=bc onda je a=b
5. zakon distribucije mnozenja u odnosu na sabiranje
(a+b)c=ac +bc.
Broj b+b+b+...+b gdje pribrojnik b dolazi a puta zove se proizvod brojeva a i b .
Teorema
a = b => ac=bc a < b => ac < bc
Arhimedova teorema
Za svaka dva prirodna broja a i b postoji prirodni broj n takav da je an > b.
Posmatrajmo operacije sabiranja i mnozenja u skupu N. Odjito je to preslikavanje skupa NxN u skup N definisano sa
(a,b)→ a + b i analogno
a(a,b)→ab.
Neka je S neprazan skup. Binarna algebarska operacija (kompozicija) na skupu S je svako preslikavanje f:SxS→ S. Za algebarske operacije vrijedi
1. Zakon komutacije ako je a*b=b*a
2. Zakon asocijacje ako je a*(b*c)= a*b)*c
Ovi zakoni ne moraju vaziti uvijek.
Primjer
(a,b)= 2a + 2b
a*b= 2a+2b= 2b + 2a= b*a
(a*b)*c = (2a+2b)*c= 2(2a + 2b) + 2c= 4a+4b+2c
a*(b*c)= 2a+2(2b+2c) = 2a+4b + 4c
tj ne vazi asocijativnost.
Neka su date dvije operacije * i ○ kazemo da je operacija lijevo distributivna u odnosu na ○ ako vrijedi
a*(b○c)=(a*b) ○(a*c).
Ako su A, B,C neprazni skupovi tada svako preslikavanje skupa AxB u C zovemo binarnom algebarskom operacijom sa AxB u C. Specijalno je A=B=C.
Sam skup i skup na koji se preslikava algebarska operacija nije isto. Razlika je velika. U drugom sludjaju sa elementima skupa mozemo radjunati.
Skup zajedno sa algebarskom operacijom nazivamo grupoid. Uredjen par (S,*) koji cini neprazni skup S i algebarska operacija * definisana na skupu S zove se grupoid(monoid). Ako je (S* ) grupoid i e iz S onda je
1. e lijevi neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a
2. e desnii neutralni element u odnosu na operaciju* akoje a*e=a
3. e dvostruki neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a*e=a.
Neutralni element za operaciju mnozenja u skupu N je e=1, a za sabiranje u skupu N
0 je e=0.
Grupoid moze biti asocijativan i komutativan. Asocijativan grupoid nazivamo polugrupa. Polugrupa moze imati inverzni element.
1. x je desni inverzni element u odnosu na operaciju * ako je
a * x = e
2. x je lijevi inverzni element u odnosu na operaciju * akoje
x * a = e
3. x je dvostruki inverzni element u odnosu na operaciju * ako je a * x =x * a = e
Grupa je polugrupa koja ima neutralni i inverzni element.
Polugrupa (S, *) s dvostrukim inverznim elementom ima najvise jedan inverzni element
Dokaz
x
1= x
1 * e = x1 (a * x
0) = (x
1 * a )* = x
0
Neka je (S,○) polugrupa i neka je ≤ linearno uredjajna relacija sa osobinom: Ako je a < b onda je a ○ c < b ○ c, tada sistem (S,○,<) zovemo uredjenom polugrupom. Primjer Polugrupe (N,+) i (N,*) su uredjene polugrupe u odnosu na relaciju ≤. Za (S,○) i (S1 , °) grupidi. Za grupoid (S,○) kazemo da je izomorfan ( izos + morphe →istog oblika) grupoidu (S1, °) ako i samo ako postoji f:S→ S1 tako da je f(a ○ b ) → a ° b.
Oduzimanje prirodnih brojeva
Od broja a oduzeti broj b znadji naci broj d takav da je a = b+d.
Broj a je razlika ili diferencija brojeva a i b, broj a minuend ili umanjenik, a b suptrahend ili umanjitelj.
Odjigledno u skupu N ne vrijedi zakon zatvorenosti tj a-b nije iz N za svaki par a i b.
Primjer 2-3 nije iz N
Dijeljenje u skupu prirodnih brojeva
Podijeliti broj a brojem b znadji naci broj q takav da je a = bq. N. Broj a je kvocijent ili kolidjnik brojeva a i b, broj a je dividend ili djeljenik, a b je divizor ili djelitelj.
U skup N ne vrijedi zakon zatvorenosti za dijeljenje tj za svaki par a i b nije a / b iz N.
Primjer
5 / 3 nije iz N
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj
Ovaj post je ureden
1
puta. Posljednja izmjena 22.09.2010 20:32 od strane roza.