Centar za edukaciju-BiH

Predmet:Algebra u geometriji

---

Matematicki jezik sluzi nam da se lakse izrazimo i da usavrsavamo teoriju. On je proizvod razvoja dugog 25 vijekova. Najplodniji period razvoja matematickog jezika bila su posljednja 2 vijeka. Matematicke teorije izkazivane su deskripotivno.

Interesantno je kako se razvijala aritmetika. Ona je bila pokusaj sinteze euklidovske geometrije i pitagorejske aritmetike.

Elementarna geometrija razvila se 1000 godina ranije i bavila se prostornim odnosima i osobinama uglavnom simetricnih figura. Anticka grcka misao nije razdvajala ove oblasti od filozofije i estetike, a isto se odnosilo na broj i aritmetiku. U svemu je trazena harmonija, proporcija i simetrija, a to je uoblicavano u aristotelovske sisteme dedukcije i opste logičke zakone.

Posmatrajmo problerm rjesavanja jednacina drugog i treceg stepena (neke nepoznate puteve). Arapski matematicari uspjesno su se bavili slozenijim problemima. Ako uzmemo u obzir da se Dekartova analiticka geometrija javila 1000 godina kasnije njihove ideje i postupci bili su genijalni. Za konkretne probleme u trgovini, nasljedjivanju i raznim proracunim trebalo je pronaci najefikasniji nacin koristeci se geometrijom novo uvedenom terminologijom i podesnim indijskim brojkama, kao i bitno drugacijim pristupom dotadasnjoj geometriji Danas mi koristimo termin aritmetikom kroz geometriju.

Ne mozemo reci da su Arapi izmislili geometrijski pristuo algebri. Oni su vecu paznju poklanjali broju i aritmetici. Kod Grka ona nije bila na cijeni, ako izuzmemo Patagoru. Brojeve su zapisivali slovima koristeci njihovu poziciju a alfabetskom poretk;
tri eneade, za jedinice, desetice i stotine, znak za nulu nije bio poznat.

---

Predmet:Re: Algebra u geometriji

---

Algebarsko pravilo za kvadrat binoma( Euklidovi Elementi

(x+y)²=x²+2xy+y²
ima svoju interpretaciju u II knjizi Elemenata:



Ako se data duz proizvoljno podijeli, kvadrat nad cijelom duzi jednak je zbiru kvadrata nad odseccima i dvostrukog pravougaonika

---

Predmet:Re: Algebra u geometriji

---

Pitagorejci su se bavili sljedecim problemima geometrije:

Konstruisati pravolinijski lik slican datom pravolinijskom liku i jednak drugom datom pravolinijskom liku. [ na datoj duzi konstruise se parallelogram jednak datom pravolinjskom liku i slican datom paralelogramu. Konstrukcija ne podrazumjeva da ce cijela duz predstavljati duzinu paralelograma]

Ovdje imamo 3 slucaja:

1. Duz AB jednaka je stranici paralelograma AB=AN
2. AB>AN ( paralelogram nad preostalim dijelom NB duzi je manjak)
3.AB<AN (parallelogram nad nastavkom NB duzi je visak)

Arapski matematicari pridavali su veliki znacaj Euklidovim tvrđenjima

Neka je data duz AB. Podijelimo tu duz tackom na jednake I tackom D na nejednake dijelove. Zbir kvadrata obuhvacenog nejednakim dijelovima duzi i kvadrata nad duzi izmedju dionih tacaka bice jednak kvadratu nad polovinom duzi.


AD*DB+CD²=CB²
Povrsinu NOP oznacimo sa P, a povrsinu pravougaonika sa dijagonalom AH sa π iz prethodne jednakosti imamo:
AD*DB=AD*DO=π=P

Za (AB=a i BM=x)=>AD=a-x I za povrsinu NOP= b² na osnovu Euklidovih stavova imamo
(a-x)x=b²
Odnosno na datoj duzi a treba konstruisati pravougaonik koji ce biti jednak datom kvadratu b² sa manjkom u obliku kvadrata x²=DHMB
    
Ovdje treba naci x iz kvadratne jednacine (nalazimo ga na nacin kako se to danas radi)


Dobili smo jednacinu koja podsjeca na Pitagorinu teoremu ( pravougli trougao sa katetama (a/2)-x i b i hipotrenuzom a/2 [ tacka D dobija se knstrukcijon tacke D iz navedenog trougla]

---

Predmet:Re: Algebra u geometriji

---

Arapski matematicar Omar al-Hajami kaze:

Ko god misli da algebra podrazumjeva vjestinu u radu sa nepoznatim velicinama, u zabludi je. Ne treba obracati paznju na cinjenicu da su algebra i geometrija razlicite u svojoj pojavi.

Ovo su pravci razmisljanja na koje je grcka misao odvela arapske matematicare.

Arapska dostignuca u geometrijskoj algebri, prije svega kod al-Horezmija i al-Hajama.

JEDNACINE II STEPENA

TRAKTAT AL-HOREZMIJA.

Pun naziv al-Horezmijevog algebarskog traktata je Al-LJitab al-Muhtasar fi Hisab al-Jabr nj’al-Muljabalah.

Ovaj traktakt se sastoji od tri dijela:

1. algebarskog dijela (sa malom glavom o prostom trojnom pravilu),
2.geometrijskog dijela o mjerenjima
3.opsirne knjige o zaveštanjima .

Najvazniji latinski prevodi ovog djela su seviljski prevod Roberta iz Cestera (1145) i toledski prevod Gerarda iz Kremone (1114-1187).

Terminologija al-Horezmija

On kaze da ljudi u aritmetici rade sa prostim brojevima - dirhem (od grc.novcana jedinica).

U algebri se razmatraju tri vrste brojeva:

dirhem, jizr (xizr = korijen) ili shay (šaj = stvar) i mal (novcana suma, imovina).

Prema al-Horezmijevom tumacenju, xizr bi bio nepoznata ili korijen, a mal kvadrat.

Do prije nekoliko vijekova koriscenje negativnih brojeva se izbjegavalo. U XVI veku evropski matematicari su ove brojeve nazivali u numeri fictici. Razloge za to sasvim dobro je obrazložio Augustus de Morgan 1831. godine:
    
Imaginarni izrazi (-a)1/2 i negativan izraz --b su slicni u tome što se oba pojavljuju kao rjesenja zadataka koji oznacuva apsurd.

Realno gledajuci oba su imaginarna

---

Predmet:Re: Algebra u geometriji

---

Al-Horezmijevo izlaganje je deskriptivno. On ukazuje na postojanje brojnih kvadratnih iracionalnosti i naziva ih jizr asam ( nijemi ili gluvi korijen)
Smatra se da je to prevod grčke rijeci

(ona je neizraziv pojam u smislu da ne postoji odnos izmedju rijeci i pojma tj ne odnosi se na nista)

Gerardo iz Kremone preveo je asam sa surdus (gluv) i ta riječ sacuvala se do XVIII vijeka paralelno sa rečju irrationalis.

Negativni koeficijenti su izbjegavani, što je i dovelo do toga da al-Horezmi klasifikuje sest osnovnih tipova kvadratnih jednacina umjesto jednog. Nazivamo ga kanonskim
(ona je neizraziv pojam u smislu da ne postoji odnos izmedju rijeci i pojma tj ne odnosi se na nista)

Gerardo iz Kremone preveo je asam sa surdus (gluv) i ta riječ sacuvala se do XVIII vijeka paralelno sa rečju irrationalis.

Negativni koeficijenti su izbjegavani, što je i dovelo do toga da al-Horezmi klasifikuje sest osnovnih tipova kvadratnih jednacina umjesto jednog. Nazivamo ga kanonskim

x2+bx+c=0

Postoji dosljednost u izjednacavanju koeficijenta uz kvadrat sa jedinicom. Iracionalne velicine al-Horezmi veoma rijetko koristi; one se javljaju samo u nekoliko jednacina tipa

x^2=q

kod jedne potpune kvadratne jednacine

10x=(10-x)^2
x^2-100=30x


Podjela kvadrtnih jednacina po al-Horezmiju

1. ax²=bx [ kvadrati su jednaki korenima (mal = xizr)]
2. ax²=bx [ kvadrati su jednaki broju (mal = dirhem)]
3. ax²=c [korjeni su jednaki broju (xizr = dirhem)]
4. ax²+bx=c [kvadrati i koreni su jednaki broju (mal + xizr = dirhem)]
5. ax^²+c=bx [ kvadrati i brojevi su jednaki korjenu (mal + dirhem = xizr)],
6. bx+c=ax² [korjeni i brojevi su jednaki kvadratu (xizr + dirhem = mal)].

Za rjesavanje bilo koje drugacije jednacine potrebno je da ona bude svedena na neki od navedenih tipova.
U slucaju da se pojave umanjioci, njih eliminisemo operacijom al-xabr, tj. dopunjavanjem. To podrazumjeva da se objema stranama jednakosti dodaju clanovi jednaki umanjiocima (bilo da su oni tipa dirhem, xizr ili mal). Sve istovrsne clanove zatim svodimo na jedan jedini operacijom al-mukabala, tj. sravnjivanjem.
Primjetna je tendencija da se vodeci koeficijenat kvadratne jednacine svede na jedinicu zato što su pravila resavanja jednacina tipa 4-6. formulisana za takav slučaj.

Navedene operacije nasle su mjesto u nazivu traktata.

Primjer

x²+(10-x)²=58
2x²+100-20x=58
Svodi je na jednacinu
2x²+100=58+20x (al-xabr)
A zatim na jednacinu petog tipa
x²+21=10x ( al-mukabala).

Zapadni Arapi iz Spaniji, glas xim nisu izgovarali x, vec kao g, a time I riječ al-xabr kao al-gabr.

U ovom obliku rijec algebra usla je u sve evropske jezike. Njeno znacenje bilo je dopunjavanje.

Al-Horezmi jednacinu ax²=bx smatra linearnom. Rjesenje x=0 ne uzima u obzir, jer nije interesantno u primjenama.

U jednacini ax²=c nepoznata se ne javlja samo kao korijen, vec i kao kvadrat, pa al-Horezmi naglasava koje je njeno resenje po korijenu, a koje po kvadratu.

Za jednacinu x^2=5x on navodi korijen je x=5 i kvadrat x²=25, jer je
x=5=> x^2=25

---

Predmet:Re: Algebra u geometriji

---

Zadatak 2

Posmatracemo jednacinu petog tipa
x²+q=px

Al-Horezmi je znao da ovakve jednacine mogu imati:
1. dva pozitivna korjena
2. jedan dvostruki)
3. nijedan oba imaginarna.

Rijesimo jednacinu

x²+21=10x

Uputstvo:
Ako prepolovimo korjen imacemo 5.
Pomnozimo li ga samimi sobom dobijamo 5*5=25.
Od toga oduzmemo 21, 25-25=4
Izvadimo iz toga korijen dobijamo 2.

Oduzmemo od polovine korjena 5-2=3. Dobili smo korjen kvadrata koji trazimo. Kvadrat je 9.
Mozes dopuniti polovinom korjena bice 7 I toje korjen kvadrata koji trazimo. Kvadrat je 49.

Treba znati:

kad god prepolovljavimo korijene i mnozimo samima sobom, ako je proizvod manji od dirhema dodatog kvadratu, zadatak je nemoguc, a ako je jednak dirhemu, korjen kvadrata jednak je polovini korjena bez dodavanja i oduzimanja...

Geometrijski dokaz razdvaja pravilo za peti tip na dva slucaja, tj. na korjene:

Za drugi slucaj u oksfordskom arapskom rukopisu receno je samo to da se korijen dobija ako duzi DH dodamo JH. Moguce je da je al-Horezmi znao da konstruise rjesenje tog slucaja, ali je problem nastao kod prepisivaca i prevodilaca. Vratimo se prvom korijenu:

Pravougaonik GCDE ima ivice GC = p i CD = x , a cine ga kvadrat ABCD = x² i njemu dodati pravougaonik GBAE = (p-x)x=q[x<p/2].
U tacka F koja je sredina duzi GC konstruisemo vertikalu FH, koju produzimo za AH=HK=(p/2)-x.
Dopunimo kvadrate GFKM=(p/2)2 I JHLM=[(p/2)-x]².
Po konstrukciji pravougaonici EJLM i FBAH su jednaki, pa je kvadeat JHKL jednak razlici kvadrata GFKM i zbira pravougaonika GFKM i EJLM:

---

Predmet:Re: Algebra u geometriji

---

---

Predmet:Re: Algebra u geometriji

---

ABU-KAMIL. Abu-Ljamil (850-930) je egipatski arapski naucnik i jedan od najuspjesnijih nastavljaca djela al-Horezmija. Njegova je algebra ogranicena na kvadratne jednacine kao i kod al-Horezmija, a svoj traktat zapocinje rjesenjima kanonskih tipova. Analogno, njegova resenja su geometrijske prirode.
    Mnogi postupci abu-Kamila slicni su al-Horezmijevim, ali je kod njega od svih staroarapskih matematicara najizrazenija ravnopravnost korjena jednacine i kvadrat tog korjena. Novost je u tome sto abu-Kamil ne predstavlja obavezno mal kvadratom ili xizr preko duzi, vec kod njega kvadrat moze biti predstavljen preko duzi i sl, sto omogucava upotrebu vecih stepena (npr. mal-mal , tj. kvadrat kvadrata ili cetvrti stepen itd).
    Glavne zasluge abu-Kamila su te sto se u izlaganju njegove algebre mogu zapaziti unapredjenje teorijskog nivoa (odvajanje od konkretnih primjena) i jaka tendencija ka aritmetizaciji, bez obzira na koriscenje geometrije u dokazima. On sasvim otvoreno iskazuje opste algebarske identicnosti i redovno skrece paznju citaocu na njihov znacaj. U primjerima koje izlaze, kvadratne iracionalnosti tretirane su uvijek kao brojevi, odnosno kao objekti cisto aritmeticke prirode - bilo kao korjeni jednacina, bilo kao koeficijenti.

---

Predmet:Re: Algebra u geometriji

---

JEDNACINE III STEPENA

OMAR AL-HAJAM.

‘Omar al-Khayyam (oko 1040-1123) je Persijanac ciji se veliki rezultati u matematici prije svega odnose na izucavanje kvadratnih jednacina, konusnih presjeka i korjena kubnih jednacina. Njegov postupak rjesavanja kubnih jednacina moze se koristiti za nalazenje svih realnih korjena jednacina III stepena, a opisan je u djelu Al-Jabr nj’al-Muljabalah. Pored njegove svestranosti u matematici, al-Hajam je sire poznat na Zapadu po zbirci svoje filozofske poezije Rubaiyat.
Uspjesno je rjesavao kvadratne jednacine geometrijskim metodom - dopunom kvadrata, u cemu mnogo podsjeca na al-Horezmija. Klasifikacija sadrzi sest kanonskih tipova jednacina drugog stepena, a u nekim konstrukcijama al-Hajam se poziva direktno na Euklida. Naravno da i al-Hajam izbegava direktno da pominje upotrebu negativnih korjena kvadratnih jednacina, ali tu moramo imati na umu sljedece cinjenice : neka je -r (r > 0) negativan korjen jednacine
x2+bx=c.
Imamo
(-r)²+b(-r)=c
r²=br+c tj r>0 p
ozitivan korijen jednacine x²+bx=c.

Apsolutna vrijednost negativnog korjena prve jednacine je pozitivan korijen druge jednacine i obratno.

PARABOLA I KUBNI KORJEN.
Kada se suocimo sa jednacinama treceg stepena, nastaju mnogo veci problemi nego sto je to slucaj sa kvadratnim jednacinama. Jasno je da nikakvim dopunama do kvadrata ne mozemo naci korjene kubnih jednacina, pa je zato neophodno da pribjegnemo drugacijim rjesenjima.
Izlaz za ovaj problem nude nam konusni presjeci kao sto su parabola i (pravougaona) hiperbola.
Kao dovoljno ilustrativan primejr konstrukcije konusnog presjeka, konstruisacemo parabolu, a zatim kubni korjen.
Konstrukcija kubnog korjena zasniva se na osobini koju su uocili jos grcki matematicari:

mozemo smatrati jednacinama dvije parabole cije su ose normalne, a tjeme im je u istoj tacki. Na ove cinjenice treba dobro obratiti paznju da bi bila jasna konstrukcija kubnog korjena.

Al-Hajam je prihvatio grcki postupak konstruisanja parabole. Naime, ako je AB duz, tada je parabola sa tjemenom B i parametrom AB takva kriva p za koju, ukoliko tacka C pripada krivoj p, za pravougaonik CDBE vazi:
BE²=AB*BD
Kako su Dekartove koordinate tacke C zaista (BE,BD), ova je jednakost vrlo bliska kanonskoj jednacini parabole: y²=2px
Konstrukciju parabole, koristimo za konstrukciju kubnog korjena, a za konstrukciju tacaka parabole konstrukciju kvadratnog korjena.

---

Predmet:Re: Algebra u geometriji

---

Sada mozemo da razmortimo samu konstrukciju kubnog korjena c3=b. Neka je b proizvoljan pozitivan broj ili duzina duzi i oznacimo ga b = AB. Konstruisimo tacku C takvu da je CB normala na AB u tacki B i CB = 1. Prema navedenoj konstrukciji, konstruisimo parabolu sa tjemenom B i parametrom AB, kao i parabolu sa istim tjemenom i parametrom CB. Oznacimo sa E presjek tih dviju krivih i konstruisimo pravougaonik BFEG. Tada je:
FE²=AB*BF
GE²=CB*BG
Za c=GE=BF I d=BG=FE imamo
(d²=bc c²=1*d)=>c⁴=bc=>
c³=b(c≠0)=>c=b^1/3
Grcki matematicari su temeljito izucili osobine konusnih presjeka, sto je kulminiralo Apolonijevim djelom Konike iz 200. god. pne
Izbegavanje negativnih koeficijenata ponovo je razlog zasto se kod al-Hajama javljaju tipovi kubnih jednacina. Na sasvim slican nacin na koji je on (a prije njega al-Horezmi) postupio sa kvadratnim jednacinama, izvedeno je devetnaest tipova kubnih jednacina koje su iskazane koristenjem iskljucivo pozitivnih koeficijenata.

Medju navedenih devetnaest, pet tipova mogu da se svedu na kvadratne jednacine, dok preostalih cetrnaest al-Hajam rjesava pomocu konusnih presjeka. Na taj nacin moguce je pronaci sve pozitivne korjene svakog tipa. Umjesto razmatranja svakog tipa pposebno, D.Nj. Henderson predlaze vrlo prosta svodjenja ovih cetrnaest tipova na samo tri, pored onih tipova koji su vec rijeseni ranijim konstrukcijama (npr. x³=b), a zatim daje al-Hajamova rjesenja za te tipove. Uvedimo smjenu u kubnu jednacinu ciji je vodeci koeficijenat 1:

---