Predmet:Re: Tacka prava i ravan

---

Duz

Duz prave je skup koji sacinjavaju tacke A,B prave a i sve tacke koje se nalaze izmedju tih tacaka. Tacke A, B su krajevi duzi, a ostale tacke unutrasnje tacke duzi. Skup tih tacaka je otvorena duz. Duz ciji su krajevi A i B nazivamo rastojanje (odstojanje) tacaka Ai B. Za duz ciji su krajevi A i B kazemo da je duz AB i oznacavamo sa AB ili BA Duz ciji se krajevi A i B poklapaju naziva se nulta duz.

Orjentisana duz

Orjentisana duz je duz ciji su krajevi tacke, a nazivamo je i vektorom. Prvi kraj orjentisane duzi AB je pocetak te duzi. Uzmimo uredjenost prave u smjeru u kome je A<B i C<D kazemo da vektori AB i CD imaju isti smjer; a ako je D<C onda vektoriAB CD

Nula duz odredjuje nula vektor 0
Sadrzavanje duzi

Teorema

1. Ako je M unutrasnja tacka duzi AB onda duz AM i MB sadrze se strogo u duzi AB tj AM je podskup od AB i BM podskup AB

* duz AB= AM U MB i pri tom je AM ∩ MB = (M)
* ako su M i N unutrasnje tacke duzi AB onda se duz MN sadrzi u AB
2. Ako su M,N unutrasnje tacke duzi AB onda se duz MN sadrzi u duzi AB

Posljedica

1. duz (prava) sadrze beskonacno mnogo tacaka
2. ravan sadrzi beskonacno mnogo tacaka
Skup svih pravi koje prolaze kroz tacku ravni i leze u toj ravni cine pramen pravih s vrhom u tacki A.

Aksioma prenosenja duzi

Na datoj polupravoj postoji jedna i samo jedna tacka B takva da je duz jednaka datoj duzi.

Posljedica

Ako su B, B1 dvije tacke poluprave sa pocetkom A takve da je AB=AB1 onda je B=B1. Odnosno dvije razlicite tacke poluprave ne mogu imati jednako rastojanje od pocetka poluprave.

Sredina duzi

Tacka M duzi AB koja ima jednako rastojanje od krajeva A i B duzi ( AM=MB) naziva se sredina duzi Teorema Duz moze da ima samo jednu sredinu. Dokaz Neka duz AB ima dvije sredineM i N. AM=MB AN=NB

Za A<B je A<M<N<B ili A<N<M<B. Posmatrajmo A<M<N<B odnosno imamo niz relacija AM<AN ; AN=BN ; BN<BM odnosno AM<BM, nemoguce jer je AM=BM Ako je m sredina duzi onda je
AB=AM+MB=2 AM

Sabiranje duzi

Neka su A,B,C bilo koje tacke prave takve da je A<B<C, tj AB=a i BC=b , duz AC zvacemo zbirom duzi a i b.

Aksiom zbira duzi

Ako su tacke A,B,C kolinearne i M,N,P isto kolinearne tacke takve da je AB=MN i BC=NP onda je i AC=MP.

Teorema (pravilo zamjene)

Ako su odgovarajuci sabirci dvaju zbirova duzi jednaki onda su i zbirovi jednaki.

(a= a1 & b=b1) => a+b=a1 + b1 Na osnovu ove teoreme proizlazi a=b=>a+c=b+c Komutativnost zbira duzi a+b=b+a Asocijativnost (a+b)+c=a+(b+c)

Zbir od n jednakih duzi a oznacavamo sa na. Za proizvod na vaz: m(na)=(mn)a (m+n)a=ma + na m(a+b)= ma+mb

Za b=na vazi a=b/n

Razlika duzi

Za a>b na duzi AB postoji tacka C takva da je AC=b, duz a jednaka je zbiru duzi b i c. Duz c nazivamo razlika duzi a i b.

Odnosno razlika duzi a i b (a>b) koja se oznacava sa a-b je svaka duz c takva da je b+c= c+b=a.

b+c=a => c=a-b

Razlika jednakih duzi jednaka je nuli.
Uporedjivanje duzi

Neka su a i b proizvoljne duzi na poluprave sa pocetkom u A.

Nadjimo tacke B i C takve da je AB=a i AC=b . Za A<B<C kazemo da je duz a manja od duzi b( aa)

Ako su tacke B i C na jednoj polupravoj sa pocetkom u A, a B1, C1 na drugoj sa pocetkom u A1 takve da je AB=A1B1 & AC=A1C1, ako je A<B<C onda je i A1,B1<C1

Teorema
Ako je a=a1; b=b1 i a<a1 onda je i a<b1 Teorema Za proizvoljne duzi a,b iskljucivo je ab

Dokaz

Ako prenesemo duzi a,b na polupravu sa pocetkom u O tako da je OA=a i OB=b. Tada je moguc samo jedan od ova tri slucaja

* A=B onda je a=b
* O<A<B onda je a<b
* O<B<A onda je b<a

Teorema( Zakon tranzitivnosti)

Za duzi a,b,c vazi ( a<b & b<c) => a<c

Teorema(Zakon monotonije)

Za duzi a,b,c vazi ako je a<b onda je a+cb na duzi AB postoji tacka C takva da je AC=b, duz a jednaka je zbiru duzi b i c. Duz c nazivamo razlika duzi a i b.

Odnosno razlika duzi a i b (a>b) koja se oznacava sa a-b je svaka duz c takva da je b+c= c+b=a.

b+c=a => c=a-b

Razlika jednakih duzi jednaka je nuli.

---