Predmet:Re: Algebra u geometriji
Algebarski nacin rjesavanja problema
Data su tri kruga k
1, k
2 i k
3. Apolonijev problem se sastoji u tome sto treba konstruisati lenjirom i sestarom sve moguce krugove k koji dodiruju sva tri kruga k
1, k
2 i k
3. Jedan od mogucih resenja dat je na slici 8. Koristeci se prethodnim znanjima, pokazacemo sve moguce krugove k, konstruisane lenjirom i sestarom. Ako je dat krug k
1 sa centrom O
1, poluprecnika r
1 i k sa centrom O i poluprecnika r, postoje tri mogucnosti pod kojima se dva kruga dodiruju:
krugovi se dodiruju sa spoljne strane i imaju zajednicku tangentu, tada vazi:
OO
1=r+r
1
krugovi se dodiruju sa unutrasnje strane tj. krug k
1 lezi unutar kruga k, tada vazi:
OO
1=r-r
1
krugovi se dodiruju sa unutrasnje strane tj. krug k lezi unutar kruga k1, tada vazi:
OO
1=r
1-r
Krace receno, krugovi k i k1 se dodiruju ako i samo ako:
OO
1=r +r
1
OO
1=r -r
1
Da bi ovo povezali sa algebrom, uzecemo centre da su
O(x,y) i O
1(x
1,y)
pa je
(x-x
1)
2+(y-y
1)
2=(r + r
1)
2
(x-x
1)
2+(y-y
1)
2=(r - r
1)
2
Sada se moze postaviti Apolonijev problem. Krug k dodiruje sva tri kruga k
1, k
2, k
3 ako svaka od jednakosti:
(x-x
1)
2+(y-y
1)
2=(r + r
1)
2 ili
(x-x
1)
2+(y-y
1)
2=(r - r
1)
2
(x-x
2)
2+(y-y
2)
2=(r + r
2)
2 ili
(x-x
2)
2+(y-y
2)
2=(r - r
2)
2
x-x
3)
2+(y-y
3)
2=(r + r
3)
2 ili
(x-x
3)
2+(y-y
3)
2=(r - r
3)
2
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj