Prikazi cijelu temu
17.09.2010 19:49
17.09.2010 19:49
Predmet:Re: Skupovi
Definicija
BINARNA relacija R na skupovima x i y je proizvoljni podskup Kartezijevog proizvoda x x y. Ako su x_1, ... x_n skupovi onda je n- mjesna relacija proizvoljan podskup Kartezijevog proizvoda x1 x... x xn
Definicija
Neka su X i Y proizvoljni skupovi i neka je f pravi podskup od XxY ima svojstvo da za svako x iz X postoji jedinstven y iz Y tako da vrijedi (x,y) iz f. Tada binarnu relaciju f nazivamo FUNKCIJA i oznacavamo sa f:X→Y. Skup X nazivamo domena, a Y kodomena funkcije. Ako je f:X→Y te je (x,y) element od f onda umjesto y pisemo f(x,y).
Skup svih funkcija iz skupa X u skup Y oznacavamo sa x(Y). Funkcije mozemo zadavati na razne nacine formulom, grafikom, tabelom...
Ako je X neki skup onda funkciju id x:X→X zadanu sa idx(x) =x nazivamo IDENTITET.
Ako je A pravi podskup od X onda funkciju i:A→X nazivamo INKLUZIJA.
Ako je f:X→Y neka funkcija te A pravi podskup od Y, te C pravi podskup od Y tada skup f[A]={f(x):x iz A} nazivamo SLIKA podskupa A, odnosno skup f(-1)[C]={x iz X:f(x) iz C} nazivamo praslika skupa C. Slika funkcije f:X→Y je tada f[X]. Obicno sliku funkcije oznacavamo sa R(ng) (f). Graf funkcije f:X→Y je skup {(x, f(x)):x iz X} [ iz navedenog slijedi da je funkcija jednaka svom grafiku]
Kazemo da su funkcije f:X→Y i g:U→V JEDNAKE ( pisemo f=g) ako vrijedi X=U i Y=V te za svaki x iz X vrijedi f(x)=g(x).
Propozicija
Neka je f:X→Y neka funkcija i A, B pravi podskupovi od X onda vrijedi:
f[AUB]=f[A]Uf[B] i
f[A∩B]=f[A] ∩f[B]
Propozicija
Neka je f:X→Y neka funkcija i C, D pravi podskupovi od X onda vrijedi:
F(-1) [CUD]=f(-1) [c]Uf(-1)[D] i
F(-1)[C∩D]=f(-1)[C] ∩f(-1 [D].
Neka su f:X→y i g:U→V takve da je R_(ng)(f) pravi podskup od U, tada funkciju sa domenom X i kodomenom V koja svakom x iz X pridruzuje g(f(x)) nazivamo kompozicija funkcija f i g i oznacavamo sa gof. Lako se provjerava da je ovo asocijativna kompozicija.
Neka je f:X→Y neka funkcija tr A pravi podskup od X. Funkciju g:A→Y, koja je definisanu sa g(x)=f(x) RESTRIKCIJA funkcije f, te je oznacavamo sa f|A. Kazemo f je PROSIRENJE f| A.
Za funkciju f:X→Y kazemo da je INJEKCIJA ako za svako x1, x2 iz X ,takve da je x1≠ x2, vrijedi f(x1) ≠ f(x[sub_2[/sub]).
Za funkciju f:X→Y kazemo da je SIRJEKCIJA ako za svako y iz Y postoji x iz X tako da vrijedi y=f(x).
Kazemo da je funkcija BIJEKCIJA ako je injekcija i sirjekcija.
Neka je f:X→Y neka funkcija.
Kazemo da je funkcija g:Y→X INVERZNA funkcija od f ako vrijedi fog=id_y i gof=idx. Ako za neku funkciju f postoji inverzna funkcija ona je jedinstvena. Inverznu funkciju funkcije f oznacavamo sa f(-1).
Definicija
BINARNA relacija R na skupovima x i y je proizvoljni podskup Kartezijevog proizvoda x x y. Ako su x_1, ... x_n skupovi onda je n- mjesna relacija proizvoljan podskup Kartezijevog proizvoda x1 x... x xn
Definicija
Neka su X i Y proizvoljni skupovi i neka je f pravi podskup od XxY ima svojstvo da za svako x iz X postoji jedinstven y iz Y tako da vrijedi (x,y) iz f. Tada binarnu relaciju f nazivamo FUNKCIJA i oznacavamo sa f:X→Y. Skup X nazivamo domena, a Y kodomena funkcije. Ako je f:X→Y te je (x,y) element od f onda umjesto y pisemo f(x,y).
Skup svih funkcija iz skupa X u skup Y oznacavamo sa x(Y). Funkcije mozemo zadavati na razne nacine formulom, grafikom, tabelom...
Ako je X neki skup onda funkciju id x:X→X zadanu sa idx(x) =x nazivamo IDENTITET.
Ako je A pravi podskup od X onda funkciju i:A→X nazivamo INKLUZIJA.
Ako je f:X→Y neka funkcija te A pravi podskup od Y, te C pravi podskup od Y tada skup f[A]={f(x):x iz A} nazivamo SLIKA podskupa A, odnosno skup f(-1)[C]={x iz X:f(x) iz C} nazivamo praslika skupa C. Slika funkcije f:X→Y je tada f[X]. Obicno sliku funkcije oznacavamo sa R(ng) (f). Graf funkcije f:X→Y je skup {(x, f(x)):x iz X} [ iz navedenog slijedi da je funkcija jednaka svom grafiku]
Kazemo da su funkcije f:X→Y i g:U→V JEDNAKE ( pisemo f=g) ako vrijedi X=U i Y=V te za svaki x iz X vrijedi f(x)=g(x).
Propozicija
Neka je f:X→Y neka funkcija i A, B pravi podskupovi od X onda vrijedi:
f[AUB]=f[A]Uf[B] i
f[A∩B]=f[A] ∩f[B]
Propozicija
Neka je f:X→Y neka funkcija i C, D pravi podskupovi od X onda vrijedi:
F(-1) [CUD]=f(-1) [c]Uf(-1)[D] i
F(-1)[C∩D]=f(-1)[C] ∩f(-1 [D].
Neka su f:X→y i g:U→V takve da je R_(ng)(f) pravi podskup od U, tada funkciju sa domenom X i kodomenom V koja svakom x iz X pridruzuje g(f(x)) nazivamo kompozicija funkcija f i g i oznacavamo sa gof. Lako se provjerava da je ovo asocijativna kompozicija.
Neka je f:X→Y neka funkcija tr A pravi podskup od X. Funkciju g:A→Y, koja je definisanu sa g(x)=f(x) RESTRIKCIJA funkcije f, te je oznacavamo sa f|A. Kazemo f je PROSIRENJE f| A.
Za funkciju f:X→Y kazemo da je INJEKCIJA ako za svako x1, x2 iz X ,takve da je x1≠ x2, vrijedi f(x1) ≠ f(x[sub_2[/sub]).
Za funkciju f:X→Y kazemo da je SIRJEKCIJA ako za svako y iz Y postoji x iz X tako da vrijedi y=f(x).
Kazemo da je funkcija BIJEKCIJA ako je injekcija i sirjekcija.
Neka je f:X→Y neka funkcija.
Kazemo da je funkcija g:Y→X INVERZNA funkcija od f ako vrijedi fog=id_y i gof=idx. Ako za neku funkciju f postoji inverzna funkcija ona je jedinstvena. Inverznu funkciju funkcije f oznacavamo sa f(-1).
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj