iCentar » Nauka » Matematika » Algebra

roza	30.08.2015 08:12
Predmet:Re: Elementarna algebra Mnozenje brojevima od 12 do 19 vrsi se na isti nacin. Pomnozimo cifre jedinica i zapisemo dobijeni broj. Ako je dvocifren, cifur desetica prenosimo. Sada pomnozimo broj desetica broja kojeg mnozimo sa cifrom jedinica broja kojim mnozimo i dodamo broj koji mnozimo 5217= 27=14 (4 i prenosimo 1) 75+52+1=35+52+1=88 Odnosno 5217=884 8416= 46=24 (4 prenosimo 2) 86+84+2=48+84+2=134 Odnosno 8416=1344 11312= 32=6 112+113=22+113=135 11312=1356 Brojem 50 mnozimo tako da broj koji mnozimo podijelimo sa 2 i pomnozimo sa 100 12650=(126/2)100=63100=6300 32150=(321/2)100=160,5100=16050 Ili 321/2=160 i ostatak je 1 Ako je ostatak 1 posljednje 2 cifre su 50 32150=160100+50=16050 Brojem 75 mnozimo tako da ¾ broja kojeg mnozimo pomnozimo sa 100. 8475= 843/4100=213100=63100=6300 Ili 84:4=21 213=63 63100=6300 12375 123/4=30 ( ostatak 3) 12375=303100+ (375)=9000+225=9225 Mnozenje sa 101 vrsi se na sljedei nacin 53101=5353 46101=4646 453101= (4+453)100+53=457100+53=45753 998101=(998+9)100+98=1007100+98=100798 Mnozenje brojevima slicnim broju 101 odnosno sa 201, 202, 203... odnosno oblika 100a+b 23203= 232=46 233=49 23*203=4649

roza

30.08.2015 08:12

Predmet:Re: Elementarna algebra

Mnozenje brojevima od 12 do 19 vrsi se na isti nacin.

Pomnozimo cifre jedinica i zapisemo dobijeni broj.
Ako je dvocifren, cifur desetica prenosimo.
Sada pomnozimo broj desetica broja kojeg mnozimo sa cifrom jedinica broja kojim mnozimo i dodamo broj koji mnozimo

52*17=
2*7=14 (4 i prenosimo 1)
7*5+52+1=35+52+1=88
Odnosno
52*17=884

84*16=
4*6=24 (4 prenosimo 2)
8*6+84+2=48+84+2=134
Odnosno
84*16=1344

113*12=
3*2=6
11*2+113=22+113=135
113*12=1356

Brojem 50 mnozimo tako da broj koji mnozimo podijelimo sa 2 i pomnozimo sa 100

126*50=(126/2)*100=63*100=6300
321*50=(321/2)*100=160,5*100=16050
Ili
321/2=160 i ostatak je 1
Ako je ostatak 1 posljednje 2 cifre su 50
321*50=160*100+50=16050

Brojem 75 mnozimo tako da ¾ broja kojeg mnozimo pomnozimo sa 100.

84*75= 84*3/4*100=21*3*100=63*100=6300
Ili
84:4=21
21*3=63
63*100=6300

123*75
123/4=30 ( ostatak 3)
123*75=30*3*100+ (3*75)=9000+225=9225

Mnozenje sa 101 vrsi se na sljedei nacin
53*101=5353
46*101=4646
453*101= (4+453)*100+53=457*100+53=45753
998*101=(998+9)*100+98=1007*100+98=100798

Mnozenje brojevima slicnim broju 101 odnosno sa 201, 202, 203... odnosno oblika 100a+b

23*203=
23*2=46
23*3=49
23*203=4649

roza	30.08.2015 08:30
Predmet:Re: Elementarna algebra Mnozenje dva broja vecih od 100, ali u neposrednoj blizini broja 100(100+a) (100+b)= 10000+100a+100b+ab= 100(100+a+b)+ab Pomnozimo cifre jedinica a, b.Dobijeni proizvod cini posljednje 2cifre Saberemo cifre jedinica. Zbir predstavlje cifru stotica 104102=[2+4=6; 24=8]=10608 106²=[6*6=36; 6+6=12]=11236 jer je 10000+1200+36=11236

roza

30.08.2015 08:30

Predmet:Re: Elementarna algebra

Mnozenje dva broja vecih od 100, ali u neposrednoj blizini broja 100(100+a) (100+b)= 10000+100a+100b+ab= 100(100+a+b)+ab

Pomnozimo cifre jedinica a, b.Dobijeni proizvod cini posljednje 2cifre
Saberemo cifre jedinica. Zbir predstavlje cifru stotica

104*102=[2+4=6; 2*4=8]=10608

106²=[6*6=36; 6+6=12]=11236
jer je
10000+1200+36=11236

roza	27.06.2016 17:14
Predmet:Re: Elementarna algebra Prirodni brojevi a i b cine prijateljski par brojeva ako je zbir pravih djelitelja broja a (onih koji su manji od a) jednak broju b i istovremeno zbir pravih djelitelja broja b jednak je broju a. Najmanji je (220, 284). Pravi djelitelji broja 220 su: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, a njihov zbir je 284. Zbir pravih djelitelja broja 284 je jednak 220. Poznati francuski matematiar Ferma nasao je 1636. godine drugi par prijateljskih brojeva (17 296, 18 416). Zajedno sa Dekartom, Ferma je otkrio pravilo za formiranje takvih parova. U 18. vijeku Ojler je objavio spisak od 64 para prijateljskih brojeva, medju kojima su dva bila pogresna. Sesnaestogodisnji Italijan Paganini nasao je 1867. godine par prijateljskih brojeva (1 184, 1 210) koji su daleko manji od Fermaovih. Uz pomoc racunara danas je pronadjeno vise od 600 prijateljskih parova. Prvo mjesto na listi zauzima (220,284), iza njega je Paganinijev (1 184, 1 210), zatim dolazi (2 620, 2 924) itd. Fermaov par je tek na 8. mjestu. Svim poznatim parovima prijateljskih brojeva, oba su parna ili, sto je mnogo redje, oba neparna. Nije poznato da li postoji mjesovit par, sastavljen od jednog parnog i jednog neparnog broja. Nije poznata formula za sve prijteljske parove, niti se zna da li ih ima konacno ili beskonacno mnogo. 220 i 284 1184 i 1210 2620 i 2924 5020 i 5564 6232 i 6368 10744 i 10856 12285 i 14595 17296 i 18416 63020 i 76084 66928 i 66992 67095 i 71145 69615 i 87633 79750 i 88730 100485 i 124155 122265 i 139815 122368 i 123152 141664 i 153176 142310 i 168730 171856 i 176336 176272 i 180848 185368 i 203432 196724 i 202444 280540 i 365084 308620 i 389924 319550 i 430402 356408 i 399592 437456 i 455344 469028 i 486178 503056 i 514736 522405 i 525915 600392 i 669688 609928 i 686072 624184 i 691256 635624 i 712216 643336 i 652664 667964 i 783556 726104 i 796696 802725 i 863835 879712 i 901424 898216 i 980984

roza

27.06.2016 17:14

Predmet:Re: Elementarna algebra

Prirodni brojevi a i b cine prijateljski par brojeva ako je zbir pravih djelitelja broja a (onih koji su manji od a) jednak broju b i istovremeno zbir pravih djelitelja broja b jednak je broju a.

Najmanji je (220, 284). Pravi djelitelji broja 220 su: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, a njihov zbir je 284. Zbir pravih djelitelja broja 284 je jednak 220.

Poznati francuski matematiar Ferma nasao je 1636. godine drugi par prijateljskih brojeva (17 296, 18 416). Zajedno sa Dekartom, Ferma je otkrio pravilo za formiranje takvih parova.

U 18. vijeku Ojler je objavio spisak od 64 para prijateljskih brojeva, medju kojima su dva bila pogresna. Sesnaestogodisnji Italijan Paganini nasao je 1867. godine par prijateljskih brojeva (1 184, 1 210) koji su daleko manji od Fermaovih.

Uz pomoc racunara danas je pronadjeno vise od 600 prijateljskih parova. Prvo mjesto na listi zauzima (220,284), iza njega je Paganinijev (1 184, 1 210), zatim dolazi (2 620, 2 924) itd. Fermaov par je tek na 8. mjestu.

Svim poznatim parovima prijateljskih brojeva, oba su parna ili, sto je mnogo redje, oba neparna. Nije poznato da li postoji mjesovit par, sastavljen od jednog parnog i jednog neparnog broja. Nije poznata formula za sve prijteljske parove, niti se zna da li ih ima konacno ili beskonacno mnogo.

220 i 284
1184 i 1210
2620 i 2924
5020 i 5564
6232 i 6368
10744 i 10856
12285 i 14595
17296 i 18416
63020 i 76084
66928 i 66992
67095 i 71145
69615 i 87633
79750 i 88730
100485 i 124155
122265 i 139815
122368 i 123152
141664 i 153176
142310 i 168730
171856 i 176336
176272 i 180848
185368 i 203432
196724 i 202444
280540 i 365084
308620 i 389924
319550 i 430402
356408 i 399592
437456 i 455344
469028 i 486178
503056 i 514736
522405 i 525915
600392 i 669688
609928 i 686072
624184 i 691256
635624 i 712216
643336 i 652664
667964 i 783556
726104 i 796696
802725 i 863835
879712 i 901424
898216 i 980984

roza	27.06.2016 17:22
Predmet:Re: Elementarna algebra Uredjenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) zovemo Pitagorina trojka ako su x, y katete, a z hipotenuza nekog pravouglog trougla, tj. ako vrijedi x² + y² = z² Ako su x, y, z relativno prosti, onda kazemo da je (x, y, z) primitivna Pitagorina trojka. (Takav trougao zovemo (primitivni) Pitagorin trougao. U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojki tacno jedan od brojeva x, y je neparan. Postoji jedinstvena Pitagorina trojka (n - 1,n,n + 1), n \equiv N,n > 1... Dokaz. Prema Pitagorinom teoremu imamo: (n-1)² + n²= (n + 1)². Primjenjujuci osnovne operacije imamo n²-2n+1+n²=n²+2n+1 n²= 4n, tj. n = 4. Jedinstvena Pitagorina trojka oblika (n-1, n, n + 1) je (3, 4, 5). Sve primitivne Pitagorine trojke (x, y, z) u kojima je y paran, date su formulama x = m²-n², y = 2mn, z = m² + n² gdje je m > n i m, n su relativno prosti prirodni brojevi razlicite parnosti. http://bs.matematika.wikia.com/...ine_trojke

roza

27.06.2016 17:22

Predmet:Re: Elementarna algebra

Uredjenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) zovemo Pitagorina trojka ako su x, y katete, a z hipotenuza nekog pravouglog trougla, tj. ako vrijedi

x² + y² = z²

Ako su x, y, z relativno prosti, onda kazemo da je (x, y, z) primitivna Pitagorina trojka. (Takav trougao zovemo (primitivni) Pitagorin trougao.

U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojki tacno jedan od brojeva x, y je neparan.

Postoji jedinstvena Pitagorina trojka

(n - 1,n,n + 1), n \equiv N,n > 1...

Dokaz. Prema Pitagorinom teoremu imamo:

(n-1)² + n²= (n + 1)².

Primjenjujuci osnovne operacije imamo

n²-2n+1+n²=n²+2n+1

n²= 4n, tj. n = 4.

Jedinstvena Pitagorina trojka oblika

(n-1, n, n + 1) je (3, 4, 5).

Sve primitivne Pitagorine trojke (x, y, z) u kojima je y paran, date su formulama

x = m²-n², y = 2mn, z = m² + n²

gdje je m > n i m, n su relativno prosti prirodni brojevi razlicite parnosti.

http://bs.matematika.wikia.com/...ine_trojke

roza	27.06.2016 17:28
Predmet:Re: Elementarna algebra Z a trojku (a, b, c) prirodnih brojeva kazemo da je Heronov ako trougao cije stranice imaju duzine a, b i c ima cjelobrojnu povrsinu. Smatracemo podudarnim Heronove trojke koje se dobijaju jedna iz druge permutacijom Neki primjeri Heronovih trojki su: (3, 4, 5), (5, 5, 6), (13, 14, 15), (11, 13, 20) http://bs.matematika.wikia.com/...ove_trojke

roza

27.06.2016 17:28

Predmet:Re: Elementarna algebra

Z a trojku (a, b, c) prirodnih brojeva kazemo da je Heronov ako trougao cije stranice imaju duzine a, b i c ima cjelobrojnu povrsinu. Smatracemo podudarnim Heronove trojke koje se dobijaju jedna iz druge permutacijom
Neki primjeri Heronovih trojki su: (3, 4, 5), (5, 5, 6), (13, 14, 15), (11, 13, 20)

http://bs.matematika.wikia.com/...ove_trojke

roza	28.06.2016 18:49
Predmet:Re: Elementarna algebra Sve primitivne Pitagorine trojke (x, y, z), u kojima je y paran (dakle, x i z neparni) dobijene su pomoću formula x=kl y=(k²-l²) /2 z=(k²-l²) /2 za k > l, i (k, l) su parovi svih neparnih relativno prostih prirodnih brojeva . Svaka primitivna trojka (x, y, z) gdje je y paran je na ovaj način dobijena samo jednom. Dokaz. Jednačinu x²+y²=z² transformišemo u oblik x² = (z + y)(z-y) Definišimo brojeve u = z + y i v = z-y, uz pretpostavku teoreme z je neparan, a y paran. Tada su u i v neparni. Kako su y i z relativno prosti, a z je neparan, u i v su relativno prosti. Iz jednačine x² = (z + y)(z-y)=> x^{[/sup]2 = uv, postoje relativno prosti (neparni) prirodni brojevi k, l takvi da je u = k[sup]2}, v = l^2. Tako dobijamo tražene jednačine x=kl y=(k²-l²) /2 z=(k²-l²) /2 Jedan od mogućih pravilnih redosljeda dobijanja svih primitivnih Pitagorinih trojki pomoću tih formula dobijemo rednim uzimanjem neparnih brojeva 3, 5, 7, 9 . . . za k, i za svaki od njih sve neparne brojeve za l, koji su manji od k i relativno prosti s njim. Kategorije:

roza

28.06.2016 18:49

Predmet:Re: Elementarna algebra

Sve primitivne Pitagorine trojke (x, y, z), u kojima je y paran (dakle, x i z neparni) dobijene su pomoću formula

x=kl

y=(k²-l²) /2

z=(k²-l²) /2

za k > l, i (k, l) su parovi svih neparnih relativno prostih prirodnih brojeva . Svaka primitivna trojka (x, y, z) gdje je y paran je na ovaj način dobijena samo jednom.

Dokaz.

Jednačinu

x²+y²=z²

transformišemo u oblik

x² = (z + y)(z-y)

Definišimo brojeve u = z + y i v = z-y, uz pretpostavku teoreme z je neparan, a y paran. Tada su u i v neparni. Kako su y i z relativno prosti, a z je neparan, u i v su relativno prosti.

Iz jednačine

x² = (z + y)(z-y)=> x^{[/sup]2 = uv, postoje relativno prosti (neparni) prirodni brojevi k, l takvi da je u = k[sup]2}, v = l^2. Tako dobijamo tražene jednačine
x=kl

y=(k²-l²) /2

z=(k²-l²) /2

Jedan od mogućih pravilnih redosljeda dobijanja svih primitivnih Pitagorinih trojki pomoću tih formula dobijemo rednim uzimanjem neparnih brojeva 3, 5, 7, 9 . . . za k, i za svaki od njih sve neparne brojeve za l, koji su manji od k i relativno prosti s njim.
Kategorije:

roza	28.06.2016 18:54
Predmet:Re: Elementarna algebra Zanimljive Pitagorine trojke su i one čije su katete susjedni brojevi. Uošsteno bismo ih mogli zapisati (x, x + 1, z) Pitagorinih trojki oblika (x, x + 1, z) ima beskonačno mnogo. Dokaz Neka su x i z prirodni brojevi, te neka je (x, x + 1, z) Pitagorina trojka. Tada postoji Pitagorina trojka (3x+2z +1, 3x+2z +2, 4x+3z +2) Pokažimo da je ova trojka Pitagorina. (3x + 2z + 1)^2 + (3x + 2z + 2)^2 = 18x^2 + 24xz + 8z^2 + 18x + 12z + 5 x^2 + (x + 1)^2 = z^2 => 2x^2 + 2x + 1 = z^2 => (3x + 2z + 1)^2 + (3x + 2z + 2)^2 = 16x^2 + 24xz + 9z^2 + 16x + 12z + 4= (4x + 3z + 2)^2 (3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2) je Pitagorina trojka. Iz svake Pitagorine trojke (x, x+1, z), kod koje su katete susjedni brojevi, možemo dobiti Pitagorinu trojku f(x, x + 1, z) = (3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2) s dužim stranicama, čije su katete također susjedni brojevi. Za trougao (3, 4, 5) na taj način dobijemo trougao sa stranicama dužine (20, 21, 29). (3* 3 + 2 * 5 + 1 = 20, 21, 4 * 3 + 3 * 5 + 2 = 29).

roza

28.06.2016 18:54

Predmet:Re: Elementarna algebra

Zanimljive Pitagorine trojke su i one čije su katete susjedni brojevi. Uošsteno bismo ih mogli zapisati (x, x + 1, z) Pitagorinih trojki oblika (x, x + 1, z) ima beskonačno mnogo.

Dokaz

Neka su x i z prirodni brojevi, te neka je (x, x + 1, z) Pitagorina trojka. Tada postoji Pitagorina trojka (3x+2z +1, 3x+2z +2, 4x+3z +2)

Pokažimo da je ova trojka Pitagorina.

(3x + 2z + 1)^2 + (3x + 2z + 2)^2 = 18x^2 + 24xz + 8z^2 + 18x + 12z + 5

x^2 + (x + 1)^2 = z^2 => 2x^2 + 2x + 1 = z^2 =>

(3x + 2z + 1)^2 + (3x + 2z + 2)^2 = 16x^2 + 24xz + 9z^2 + 16x + 12z + 4= (4x + 3z + 2)^2

(3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2) je Pitagorina trojka.

Iz svake Pitagorine trojke (x, x+1, z), kod koje su katete susjedni brojevi, možemo dobiti Pitagorinu trojku

f(x, x + 1, z) = (3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2)

s dužim stranicama, čije su katete također susjedni brojevi. Za trougao (3, 4, 5) na taj način dobijemo trougao sa stranicama dužine (20, 21, 29).

(3* 3 + 2 * 5 + 1 = 20, 21, 4 * 3 + 3 * 5 + 2 = 29).