iCentar » Nauka » Matematika » Algebra » Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

roza	23.10.2012-20:07
Subject: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze Kod rjesavanja zadataka koji sadrze vise od jedne operacije, mozemo dobiti razlicite rezultate zavisno o redoslijeda kojim ih rijesavamo. Matematicari su se dogovorili o određenom redoslijedu tako da se uvijek dobija isti rezultat. Rezultat zavisi od nacina grupisanja izraza pomocu zagrada, kako bi nam bilo lakse rijesiti komplikovane izraze. Evo kako ih koristimo: 1. radimo operacije unutar zagrade 2. korjenovanje i stepenovanje 3. mnozenje i dijeljenje 4. sabiranje i oduzimanje Evo jednostavnog primjera kako zavisi rezultat o grupisanju izraza 8-7+3= 1+3=4 8-(7+3)=8-10=-2

roza

23.10.2012-20:07

Subject: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

Kod rjesavanja zadataka koji sadrze vise od jedne operacije, mozemo dobiti razlicite rezultate zavisno o redoslijeda kojim ih rijesavamo. Matematicari su se dogovorili o određenom redoslijedu tako da se uvijek dobija isti rezultat. Rezultat zavisi od nacina grupisanja izraza pomocu zagrada, kako bi nam bilo lakse rijesiti komplikovane izraze. Evo kako ih koristimo:

1.   radimo operacije unutar zagrade
2.    korjenovanje i stepenovanje
3.   mnozenje i dijeljenje
4.   sabiranje i oduzimanje

Evo jednostavnog primjera kako zavisi rezultat o grupisanju izraza
8-7+3= 1+3=4
8-(7+3)=8-10=-2

roza	23.10.2012-20:11
Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze Posmatrajmo primjere 4+73=x 4+21=x 25=x 4(6-2)²/(3-1)³-7=x 44²/2³-7=x 416/8-7=x 64/8-7=x 8-7=x 1=x Zadane operacije radimo s lijeva na desno. Izvrsimo operacije mnozenja i dijeljenja po redu, a zatim izvrsino saberanje i oduzmanje.

roza

23.10.2012-20:11

Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

Posmatrajmo primjere

4+7*3=x
4+21=x
25=x

4*(6-2)²/(3-1)³-7=x
4*4²/2³-7=x
4*16/8-7=x
64/8-7=x
8-7=x
1=x

Zadane operacije radimo s lijeva na desno. Izvrsimo operacije mnozenja i dijeljenja po redu, a zatim izvrsino saberanje i oduzmanje.

roza	23.10.2012-20:17
Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze Najvaznije u algebri je da se razvije sposobnost ispravnog rjesavanja jednacina. Ovo su jednostavne jednacine 3z + 2 = 14 3z=14-2 3z=12 z=4 x - 9 = 20 x=20+9 x=29 p + 2p = 3 3p=3 p=3/3 p=1 Zadatak 1 Broj n pomnozen 3 puta jednak je 120. To je jednostavno. Rijec puta nam govori da moramo pomnoziti varijablu n sa tri, i da je rezultat jednak 120. Evo kako napisati tu jednacinu: 3n = 120 n=120/3=40 Zadatak 2 10 KM je dvije trecine ukupnog potrosenog novca. Sto pokusavamo pronaci? Nepoznat iznos je ukupni potroseni novac. Nazovimo ga x. Mi znamo da je deset KM jednako dvije trecine x, tako da mozemo napisati 2x/3=10 2x=30 x=15

roza

23.10.2012-20:17

Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

Najvaznije u algebri je da se razvije sposobnost ispravnog rjesavanja jednacina. Ovo su jednostavne jednacine

3z + 2 = 14
3z=14-2
3z=12
z=4

x - 9 = 20
x=20+9
x=29

p + 2p = 3
3p=3
p=3/3
p=1

Zadatak 1

Broj n pomnozen 3 puta jednak je 120.
To je jednostavno. Rijec puta nam govori da moramo pomnoziti varijablu n sa tri, i da je rezultat jednak 120. Evo kako napisati tu jednacinu:
3n = 120
n=120/3=40

Zadatak 2

10 KM je dvije trecine ukupnog potrosenog novca.

Sto pokusavamo pronaci? Nepoznat iznos je ukupni potroseni novac. Nazovimo ga x. Mi znamo da je deset KM jednako dvije trecine x, tako da mozemo napisati
2x/3=10
2x=30
x=15

roza	23.10.2012-20:20
Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze zadatak 3 Kosci su radili 7 sati i pokosili tri livade. Koliko im je trebalo u prosjeku da pokose svaku livadu? Neka slovo t predstavlja prosjecno vrijeme po livadi, nepoznata vrijednost. 3t je vrijeme potrebno da se pokose sve tri livade. Znamo da je to jednako sedam sati. Jednacina glasi 3t=7 t=7/3

roza

23.10.2012-20:20

Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

zadatak 3

Kosci su radili 7 sati i pokosili tri livade. Koliko im je trebalo u prosjeku da pokose svaku livadu?

Neka slovo t predstavlja prosjecno vrijeme po livadi, nepoznata vrijednost. 3t je vrijeme potrebno da se pokose sve tri livade. Znamo da je to jednako sedam sati. Jednacina glasi
3t=7
t=7/3

roza	23.10.2012-20:30
Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze Zadatak 4 Djecak je dva puta stariji nego sto je bio prije 4 godine. b = broj godina djecaka b = 2 (b - 4) b = 2b - 8 b = 8 Djecak je star osam godina. Vazno je pratiti sta nam govore varijable (nepoznate).

roza

23.10.2012-20:30

Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

Zadatak 4
Djecak je dva puta stariji nego sto je bio prije 4 godine.

b = broj godina djecaka
b = 2 (b - 4)
b = 2b - 8
b = 8
Djecak je star osam godina. Vazno je pratiti sta nam govore varijable (nepoznate).

roza	13.11.2012-18:33
Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze Zadatak 5 Monika i Ana imale su zajedno 16 bombona. Kada je Ana pojela 2 bombona, a Monika 4 ostao im je isti broj bombona. Koliko su u pocetku imale bombona Ana a koliko Monika. Obe djevojcice zajedno su imale 16 bombona, pojele su 2 i 4 pa imamo 16-4-2=10 Monika i Ana zajedno sada imaju 10 bombona. Djevojcice imaju isti broj bombona, odnosno bombone podijelimo na dvije hrpice. Svaka djevojcica oma po 5 bombona. Upocetku Monika je imala 5+4=9 a Ana 5+2=7

roza

13.11.2012-18:33

Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

Zadatak 5
Monika i Ana imale su zajedno 16 bombona. Kada je Ana pojela 2 bombona, a Monika 4 ostao im je isti broj bombona. Koliko su u pocetku imale bombona Ana a koliko Monika.

Obe djevojcice zajedno su imale 16 bombona, pojele su 2 i 4 pa imamo
16-4-2=10
Monika i Ana zajedno sada imaju 10 bombona. Djevojcice imaju isti broj bombona, odnosno bombone podijelimo na dvije hrpice. Svaka djevojcica oma po 5 bombona.
Upocetku Monika je imala
5+4=9
a Ana
5+2=7

roza	19.12.2012-20:19
Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze Kako brzo pomnoziti dva dvocifrena broja manja od 20? 13x12= Prvo drugu cifru mnozitelja saberemo sa mnozenikom. 1 3 x 1 2 =[13+2]= 1 5 Zatim drugu cifru mnozitelja pomnozite sa drugom cifrom mnozenika 13x12=15[3x2]=156 14x16=[14+6]=20[4x6]=20[24]=224 Mnozenje dvocifrenog broja sa 11 43x11=4_3=4[4+3=7]3=473 dati dvocifreni broj razdvojimo u mislima ovako 4_3. nepoznata srednja cifra jednaka je zbiru cifara datog broja. 84x11=8_4=8[8+4]4=8[12]4=(8+1)24=924 Kvadriranje dvocifrenog broja 652=[6x7][5x5]=4225 kvadriranje broja cija je cifra jedinica 5. pomnozimo cifru desetica sa narednim brojem tj nadjemo n(n+1). To su prve dvije cifre. Zadnje dvije cifre su 25 (5x5) Kvadriranje bilo koja dva dvocifrena broja 36² Nadjemo najblizi broj djeljiv sa 10, To je 40. 40-36=4 ovu razliku oduzmemo od datog broja 36-4=32 nadjemo proizvod 40x32=1280 i kvadriramo dobijenu razliku 4 4x4=16 Saberemo dobijene proizvode 1280+16=1296

roza

19.12.2012-20:19

Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

Kako brzo pomnoziti dva dvocifrena broja manja od 20?
13x12=
Prvo drugu cifru mnozitelja saberemo sa mnozenikom.
1 3 x 1 2 =[13+2]= 1 5
Zatim drugu cifru mnozitelja pomnozite sa drugom cifrom mnozenika
13x12=15[3x2]=156
14x16=[14+6]=20[4x6]=20[24]=224

Mnozenje dvocifrenog broja sa 11

43x11=4_3=4[4+3=7]3=473
dati dvocifreni broj razdvojimo u mislima ovako 4_3. nepoznata srednja cifra jednaka je zbiru cifara datog broja.
84x11=8_4=8[8+4]4=8[12]4=(8+1)24=924
Kvadriranje dvocifrenog broja
652=[6x7][5x5]=4225

kvadriranje broja cija je cifra jedinica 5.
pomnozimo cifru desetica sa narednim brojem tj nadjemo n(n+1). To su prve dvije cifre. Zadnje dvije cifre su 25 (5x5)

Kvadriranje bilo koja dva dvocifrena broja
36²
Nadjemo najblizi broj djeljiv sa 10, To je 40.
40-36=4
ovu razliku oduzmemo od datog broja
36-4=32
nadjemo proizvod 40x32=1280
i kvadriramo dobijenu razliku 4
4x4=16
Saberemo dobijene proizvode
1280+16=1296

roza	21.12.2012-15:33
Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze Kako brzo pomnoziti dva dvocifrena broja manja od 20? 13x12= Prvo drugu cifru mnozitelja saberemo sa mnozenikom. 1 3 x 1 2 =[13+2]= 1 5 Zatim drugu cifru mnozitelja pomnozite sa drugom cifrom mnozenika 13x12=15[3x2]=156 14x16=[14+6]=20[4x6]=20[24]=224 Mnozenje dvocifrenog broja sa 11 43x11=4_3=4[4+3=7]3=473 dati dvocifreni broj razdvojimo u mislima ovako 4_3. nepoznata srednja cifra jednaka je zbiru cifara satog broja. 84x11=8_4=8[8+4]4=8[12]4=(8+1)24=924 Kvadriranje dvocifrenog broja 65²=[6x7][5x5]=4225 kvadriranje broja cija je cifra jedinica 5. pomnozimo cifru desetica sa narednim brojem tj nadjemo n(n+1). To su prve dvije cifre. Zadnje dvije cifre su 25 (5x5) Kvadriranje bilo kojeg dvocifrenog broja 36² Nadjemo najblizi broj djeljiv sa 10, To je 40. 40-36=4 ovu razliku oduzmemo od datog broja 36-4=32 nadjemo proizvod 40x32=1280 i kvadriramo dobijenu razliku 4 4x4=16 Saberemo dobijene proizvode 1280+16=1296

roza

21.12.2012-15:33

Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

Kako brzo pomnoziti dva dvocifrena broja manja od 20?
13x12=
Prvo drugu cifru mnozitelja saberemo sa mnozenikom.
1 3 x 1 2 =[13+2]= 1 5
Zatim drugu cifru mnozitelja pomnozite sa drugom cifrom mnozenika
13x12=15[3x2]=156

14x16=[14+6]=20[4x6]=20[24]=224

Mnozenje dvocifrenog broja sa 11

43x11=4_3=4[4+3=7]3=473
dati dvocifreni broj razdvojimo u mislima ovako 4_3. nepoznata srednja cifra jednaka je zbiru cifara satog broja.

84x11=8_4=8[8+4]4=8[12]4=(8+1)24=924

Kvadriranje dvocifrenog broja
65²=[6x7][5x5]=4225

kvadriranje broja cija je cifra jedinica 5.
pomnozimo cifru desetica sa narednim brojem tj nadjemo n(n+1). To su prve dvije cifre. Zadnje dvije cifre su 25 (5x5)

Kvadriranje bilo kojeg dvocifrenog broja
36²
Nadjemo najblizi broj djeljiv sa 10, To je 40.
40-36=4
ovu razliku oduzmemo od datog broja
36-4=32
nadjemo proizvod 40x32=1280
i kvadriramo dobijenu razliku 4
4x4=16
Saberemo dobijene proizvode
1280+16=1296

roza	22.07.2013-18:13
Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze Neki nacini mnozenja 567=506+76=350+42=392 566=506+66=300+36=336 ili (392-56=336) 12025=120/4100=30100=3000 837=807+37=560+21=581 2363=2003+303+63=600+90+18=708 1000=2500=40025=8125=16625 4949=(49100)/2-49=2450-49=2401 5692=56100-56222=5600-11222=5600-2242=5600 -448=5152 23²= (20+3)²=20²+2203+3²=400+120+9=529 69²=(70-1)²=70²-2701+1²=4900-140+1=4761 15²=((1(1+1))25=225 25²=(2(2+1))25=625 85²=(8(8+1))25=7225 155²=(155(15(15+1))25=(1516)25=24025 1618=(16+8)10+68=288 1618=(10+6)(10+8)=1010+610+108+69=(10+6+8)10 +68=(16+8)10+68

roza

22.07.2013-18:13

Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

Neki nacini mnozenja

56*7=50*6+7*6=350+42=392
56*6=50*6+6*6=300+36=336 ili (392-56=336)

120*25=120/4*100=30*100=3000

83*7=80*7+3*7=560+21=581
236*3=200*3+30*3+6*3=600+90+18=708

1000=2*500=400*25=8*125=16*62*5

49*49=(49*100)/2-49=2450-49=2401

56*92=56*100-56*2*2*2=5600-112*2*2=5600-224*2=5600
-448=5152

23²= (20+3)²=20²+2*20*3+3²=400+120+9=529

69²=(70-1)²=70²-2*70*1+1²=4900-140+1=4761

15²=((1*(1+1))25=225
25²=(2*(2+1))25=625
85²=(8*(8+1))25=7225
155²=(155(15*(15+1))25=(15*16)25=24025

16*18=(16+8)*10+6*8=288
16*18=(10+6)(10+8)=10*10+6*10+10*8+6*9=(10+6+8)*10
+6*8=(16+8)*10+6*8

roza	27.07.2013-18:02
Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze Vecina ljudi zna tablicu mnozenja sa 5, ali kada se radi o velikim brojevima, teze je izvrsiti takvo mnozenje. Sljedeca tehnika je jednostavna. Dati broj podijeliti sa 2, a zatim pomnoziti sa 10. Ako dati broj podijeljen sa 2 daje cijeli broj dodamo samo 0 (nulu), a ako ne zanemarimo zarez. 26825=(2682/2)5=134110=13410 58875=(5887/2)5=2943,510=29435

roza

27.07.2013-18:02

Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

Vecina ljudi zna tablicu mnozenja sa 5, ali kada se radi o velikim brojevima, teze je izvrsiti takvo mnozenje.

Sljedeca tehnika je jednostavna.

Dati broj podijeliti sa 2, a zatim pomnoziti sa 10. Ako dati broj podijeljen sa 2 daje cijeli broj dodamo samo 0 (nulu), a ako ne zanemarimo zarez.

2682*5=(2682/2)*5=1341*10=13410
5887*5=(5887/2)*5=2943,5*10=29435

roza	27.07.2013-18:03
Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze Kod mnozenja sa 4 trik je u tome sto se pomnozi sa 2 i opet sa 2. 584 = (582)2 = 1162 = 232 ili 58×4 = (58×2) + (58×2) = (116) + (116) = 232

roza

27.07.2013-18:03

Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

Kod mnozenja sa 4 trik je u tome sto se pomnozi sa 2 i opet sa 2.

58*4 = (58*2)*2 = 116*2 = 232 ili
58×4 = (58×2) + (58×2) = (116) + (116) = 232

roza	16.03.2014-18:35
Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze Skratimo razlomak Razlomak ne mozemo skratiti brojevima 2, 3, 5,9 ili 10. Prve dvije cifre brojnika i nazivnika su medjusobno jednake. Oduzmimo od nazivnika razlomka (broja 4674) njegov brojnik (4655). 4674-4655=19 ( prost broj. Da li je 19 zajednicki djelitelj brojnika i nazivnika? Pismenim dijeljenjem vidimo da je: 4655 : 19 = 245 4674 : 19 = 246. Razlomak mozemo skratiti brojem 19. Dobijeni razlomak je neskrativ jer su 245 i 246 uzastopni brojevi, a za uzastopne brojeve znamo da su relativno prosti.

roza

16.03.2014-18:35

Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

Skratimo razlomak

Razlomak ne mozemo skratiti brojevima 2, 3, 5,9 ili 10.

Prve dvije cifre brojnika i nazivnika su medjusobno jednake.

Oduzmimo od nazivnika razlomka (broja 4674) njegov brojnik (4655).

4674-4655=19 ( prost broj.

Da li je 19 zajednicki djelitelj brojnika i nazivnika?

Pismenim dijeljenjem vidimo da je:

4655 : 19 = 245

4674 : 19 = 246.

Razlomak mozemo skratiti brojem 19.

Dobijeni razlomak je neskrativ jer su 245 i 246 uzastopni brojevi, a za uzastopne brojeve znamo da su relativno prosti.

roza	16.03.2014-18:40
Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze Skratimo razlomak Dati razlomak ne mozemo skratiti brojevima 2, 3, 5, 9 i 10. Brojnik sastoji od dva broja 2012 i djeljiv je sa 2012, a nazivnik od dva broja 2013 djeljiv sa 2013. 20122012:2012=10001 20132013:2013=10001

roza

16.03.2014-18:40

Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

Skratimo razlomak

Dati razlomak ne mozemo skratiti brojevima 2, 3, 5, 9 i 10.

Brojnik sastoji od dva broja 2012 i djeljiv je sa 2012, a nazivnik od dva broja 2013 djeljiv sa 2013.

20122012:2012=10001

20132013:2013=10001

roza	16.03.2014-18:44
Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze Skratimo razlomak Zadnje 4 cifre nazivnika 1650 nisu djeljive sa 2013, sto znaci da razlomak ne mozemo skratiti sa 2013. 2013 = 3 * 11 * 61 201 320 131 650 djeljiv je sa 3 Razlika zbira cifri na parnim mjestima i cifri na neparnim mjestima je 0, pa je 201 320 131 650 djeljiv i brojem 11. Buduci da je taj broj djeljiv i brojem 3 i brojem 11, on je djeljiv i sa brojem 3 *11 = 33 . Broj 201 320 131 650 nije djeljiv brojem 61 jer smo vidjeli da nije djeljiv brojem 2013.

roza

16.03.2014-18:44

Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

Skratimo razlomak

Zadnje 4 cifre nazivnika 1650 nisu djeljive sa 2013, sto znaci da razlomak ne mozemo skratiti sa 2013.

2013 = 3 * 11 * 61

201 320 131 650 djeljiv je sa 3

Razlika zbira cifri na parnim mjestima i cifri na neparnim mjestima je 0, pa je 201 320 131 650 djeljiv i brojem 11.
Buduci da je taj broj djeljiv i brojem 3 i brojem 11, on je djeljiv i sa brojem 3 *11 = 33 .
Broj 201 320 131 650 nije djeljiv brojem 61 jer smo vidjeli da nije djeljiv brojem 2013.

roza	16.03.2014-18:29
Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze Skratiti razlomak znaci podijeliti brojnik i nazivnik istim prirodnim brojem da li mozemo skratiti razlomke Na prvi pogled ne vidimo imaju li brojnik i nazivnik zajednickog djelitelja. Da li se cifre ponavljaju po nekom pravilu. Razlomke obicno skracujemo primjenom poznatih pravila djeljivosti brojem 2, 3, 5, 9 i 10. Ako razlomak treba skratiti do neskrativog razlomka, potrebno je naci najveci zajednicki djelitelj brojnika i nazivnika. Postoje slucajevi kad ne vidimo ili ne mozemo naci zajednicki djelitelj?

roza

16.03.2014-18:29

Subject: Re: Upute kako rjesavati jednostavne probleme i izraze

Skratiti razlomak znaci podijeliti brojnik i nazivnik istim prirodnim brojem

da li mozemo skratiti razlomke

Na prvi pogled ne vidimo imaju li brojnik i nazivnik zajednickog djelitelja. Da li se cifre ponavljaju po nekom pravilu.

Razlomke obicno skracujemo primjenom poznatih pravila djeljivosti brojem 2, 3, 5, 9 i 10.
Ako razlomak treba skratiti do neskrativog razlomka, potrebno je naci najveci zajednicki djelitelj brojnika i nazivnika.
Postoje slucajevi kad ne vidimo ili ne mozemo naci zajednicki djelitelj?