Centar za edukaciju-BiH

Predmet:Konike

---

Konike su kruznice, elipse, hiperbole i parabole. Njihov pronalazak pripisuje se Menehmu (IV vijek pne), pripadniku Platonove Akademije u Ateni. On je otkrio da se presjekom kupe i ravni koja je normalna na izvodnicu kupe dobiju do tada nepoznate krive. Vrsta krive je zavisila o vrsti kupe. Za kupu ostrog vrha dobijamo elipsu, pravouglog vrha parabolu i tupog dobijamo hiperbolu. Ti nazivi su tek kasnije pridruzeni krivama.
Konike je proucavao i Euklid (325. – 265. pne), ali su njegova djela koja se ticu konika izgubljena. Arhimedova djela (287. – 212.) sadrze neke vazne rezultate o osobinama konika, posebno parabole.
Apolonije iz Perge (262. – 190.) je napisao rad o konikama koji se sastoji od osam knjiga. On je prvi uvidio da se na jednoj te istoj kupi (bez obzira bila ona kosa ili uspravna, siljasta ili tupa) mogu kao presjek kupe i ravni dobiti sve tri krive. Apolonije je takodjer uveo nazive koje danas koristimo: elipsa, parabola i hiperbola.
Papo iz Aleksandrije (290.– 350.) je napisao djelo poznato kao “Colection” koje je sadrzavalo navode i komentare rezultata svojih prethodnika. Uveo je pojmove fokusa i direktrisa hiperbole.Od tada istorija konika gotovo prazna sve do XV vijeka. Renesansa je donijela ozivljavanje interesa za grcko znanje sto za posljedicu ima povecan interes za konike i ostale krive. Prve cetiri Apolonijeve knjige o konikama su do tog vremena bile sacuvane na grckom (prijevod na latinski objavljen je u Veneciji 1537.), a jos tri knjige su bile arapski prijevodi (pronadjene u XVII vijeku). Osma knjiga je izgubljena. Papusova djela su originalno bila napisana u osam knjiga, ali su do petnaestog vijeka samo djelomice sacuvana.
Prvo originalno djelo o konikama u renesansnoj Europi se zove “Libellus super viginti duobus elementis conicis” ciji autor je Johannes Werner (1468. –1528.). On se bavio problemima vec obradjivanim od strane grckih pisaca. Bavio se samo parabolom i hiperbolom jer je njegovo glavno zanimanje bilo udvostrucavanje kocke, pri cemu mu elipsa nije imala znacaja.
Tokom renesanse se povecao i interes za primjenu geometrijskih spoznaja i u umjetnosti. Proucavanjem raznih optickih problema konike su dobile jos vise na vaznosti.
Takodjer, nove spoznaje u astronomiji su znacajno potakle zanimanje za konike. Nikola Kopernik (1473. – 1543.) je ostao pri uvjerenju da je kruznica glavna kada se govori o kretanju nebeskih tijela, ali je Johanes Kepler (1571. – 1630.) prepoznao elipticku putanju Marsa oko Sunca. Osobine konika primjenjivih na astrologiju su tada postala vrlo zanimljiva za cijeli svijet. Kao dio svoje knjige “Astronomiae pars Optica” jedno je poglavlje (peto) posvetio konikama.
Kepler razlikuje pet vrsta konika: kruznicu, elipsu, parabolu, hiperbolu i pravac. Tvrdi da se jedna kriva moze dobiti iz druge neprekidnim mijenjanjem. Pravac i parabola su dva ekstremna oblika hiperbole, a parabola i krug su dva ekstremna oblika kruznice. Kepler je prvi uveo naziv “fokus” za znacajne tacke na osi konike.
Rene Descartes 1637. godine objavljuje djelo La Géométrie. Descartes je shvatio krive kao geometrijsko mjesto tacaka kojima koordinate zadovoljavaju odredjenu jednacinu.
Za razliku od Descartesa, Rudjer Boskovic (1711. - 1787.) izgradio je teoriju konika posve geometrijski i svoju teoriju objavio u djelu Sectionum conicarum elementa godine 1754. u Rimu.

---

Predmet:Re: Konike

---

Apolonijevi problemi

Razmotricemo Apolonijeve probleme o dodiru krugova koji se mogu na rijesiti primjenom inverzije. Pretpostavlja se da su sve tacke, prave i krugovi iz uslova sledecih zadataka u istoj ravni.

Zadatak 1:
Neka su date tri tacke A, B, C. Konstruisati krug k koji prolazi kroz date tacke.

Resenje:
Ako date tacke spojimo duzima AB, BC, CA, dolazimo do trougla ABC. Trazeni krug k je tada opisani krug oko trougla ABC. Centar kruga k opisanog oko trougla ABC je presjek simetrala stranica datog trougla.



Zadatak 2:
Neka su date dvije tacke A i B i prava p. Treba kroz tacke A i B povuci krug koji dodiruje pravu p.

Rjesenje:
Na simetrali s duzi AB nalazi se centar svakog kruga koji prolazi kroz tacke A i B. Uzmimo na simetrali s proizvoljnu tacku K i spustimo normalu KD na pravu p. Pomocni krug poluprecnika KD sa centrom u K dodiruje pravu p, ali ne mora prolaziti kroz tacke A i B. Neka je tacka S presjek simetrale s i date prave p.



Neka prava AS sijece krug u tacki A₁ . Konstuisemo duz AO₁ paralelno sa A₁K . Neka je D₁ projekcija tacke O₁ na pravu p. Iz sljedecih proporcija koje vaze:
KD:O₁D₁=SK:SO₁
KA₁:O₁A=SK:SO₁
imamo
KD:O₁D₁=KA₁:O₁A
Kako je KD=KA₁ to je O₁D₁=O₁A
Tacka O₁ je na simetrali s pa je AO₁=BO₁
odnosno
AO₁=BO₁=O₁D₁
Za odredjivanje drugog trazenog kruga sa centrom u O₂ mozemo uzeti:
D₂ je podnozje normale spustene iz O₂ na pravu p, a C, presjek prave p i prave kroz date tacke A i B.
Imamo
CA*CB=CD₁² i
CA*CB=CD₂²
Poslije odredjivanja tacke D₂ na p, konstrukcijom normale na p u tacki D₂ , odredjuje se polozaj tacke O₂, centra drugog trazenog kruga, a time i sam trazeni krug.

---

Predmet:Re: Konike

---

Zadatak 3

Neka su date dve tacke A i B i krug k sa centrom u tacki O1. Treba kroz A i B konstruisati krug koji dodiruje dati krug.

Za rjesenje ovog zadatka iskoristicemo pojmove potencije tacke u odnosu na krug i pojam radikalne ose za dva kruga. Sema resenja bi izgledala:
1. Za date tacke A i B konstruisemo pravu AB.
2. Kroz srediste P, duzi AB, konstruisemo simetralu s. Na toj simetrali mora da se nalazi centar O trazenog kruga, koji prolazi kroz tacke A i B.
3. Na simetrali s uzimamo neku tackuO* za centar nekog pomocnog proizvoljnog kruga koji prolazi kroz tacke A i B, ali pri tom presjeca i dati krug. Oznacimo tacke tog preseka sa C i D.
4. Presjecnu tacku pravih AB i CD oznacimo sa S.
5. Potencija tacke S u odnosu na dati krug sacentromu ima vrijednost kvadrata odsjecka tangente ST1, povucene iz tacke S na krug k.
6. Produzenje poluprecnika O₁T₁ do presjeka sa simetralom s, odredjuje centar O trazenog kruga poluprecnika T₁O. Prava ST₁odredjuje radikalnu osu krugova sa centrima u O₁ i O.
7. Druga tangenta ST₂ na krug sacentromu O₁, odredjuje tacku dodira T₂ datog kruga k i drugog trazenog kruga, koji prolazi kroz tacke A i B i pri dodiru obuhvata dati krug k. Centar tog drugog kruga se nalazi u presjeku produzenja poluprecnika O₁T₂ i simetrale s u tacki O’.
Ova konstrukcija je nezavisna od izbora pomoćnog kruga O*.

---

Predmet:Re: Konike

---

Zadatak 4

Neka su date dve prave p1i p2i tacka A. Treba konstruisati krug koji dodiruje prave p1i p2i prolazi kroz tacku A.

Uocimo prave p₁ i p₂ i njihovu presjecnu tacku S, kao i tacku A koja ne pripada datim pravama. Povucimo simetralu s ugla izmedju datih prava i uzmimo na njoj neku tacku K za centar kruga koji dodiruje prave p₁ i p₂. Dodirne tacke oznacimo sa T₁ i T₂.
Datu tacku A spojimo sa tackom S pravom AS i prejsecne tacke te prave sa krugom K oznacimo sa A₁ i A₂. Iz tacke A povucimo pravu AT paralelnu sa A₁T₁. Neka ona sijece pravu p₁ u tacki T. Prava iz T, normalna na p₁, sijece simetralu s u tacki O, koja je centar trazenog kruga.

---

Predmet:Re: Konike

---

Zadatak 5

Neka su date tri prave p, q, s. Treba konstruisati krug koji dodiruje te tri prave.

Neka se prave p i q sijeku u tacki A, prave p i s u tacki B, a prave q i s u tacki C. Onda date prave obrazuju trougao ABC. Treba naci krug koji dodiruje ove tri prave, tj. krug upisan u trougao. Centar upisanog kruga u trougao je presjek simetrala uglova tog trougla.

---

Predmet:Re: Konike

---

Zadatak 6

Neka su p₁ i p₂ dvije date prave i krug k sa centrom u tački O1. Naći krug koji dodiruje date prave i dati krug.

Treba konstruisati krug koji dodiruje date prave p₁ i p₂ i krug k poluprecnika OR. Njemu koncentrican krug, poluprecnika r+R prolazi kroz centar O₁ datog kruga i dodiruje prave p´₁ i p₂´, paralelne pravama p₁ i p₂ , na rastojanju R od njih. Prema tome, zadatak se svodi na konstukciju kruga koji dodiruje dvije date pravep´1 i p´2 i prolazi kroz datu tačku O₁, odnosno tacku A.

---