Centar za edukaciju-BiH

Predmet:Kvadriranje korjenovanje

---

Kvadrirati neki broj x znaci pomnoziti ga samim sobom, tj naci broj x*x. Oznacava se sa x^2
Kvadrat racionalnog broja razlicitog od 0 (nule) je pozitivan broj. Kvadrat nule je nula.
5^2=25
(-5)^2=25
0^2=0
Nula je jedini broj ciji kvadrat nije ni pozitivan ni negativan jer nula nije ni pozitivna ni negativna.
x^2=(-x)^2
Kvadrat negativnog broja uvijek je pozitivan
(-7)^2=/-7)*(-7)=49
7^2 citamo 7 na kvadrat ili 7 na drugu
Svakom racionalnom broju mozemo pridruziti njegov kvadrat. To zapisujemo kao y=x^2 ili f(x)=x^2 i zovemo kvadratna funkcija.
Formula za povrsinu kvadrata glasi P=a*a=a^2. Odnosno povrsinu kvadrata dobijamo kvadriranjem njegove stranice.
Kolika je povrsina kvadrata ako je a=10 cm
P=a^2=10^2=100 cm^2
Cesto u zadacima trebamo kvadrate brojeva od 1 do 20 zato ih treba znti napamet
1^2=1
2^2=4
3^2=9
4^2=16
5^2=25
6^2=36
7^ 2=49
8^2=64
9^2=81
10^2=100
11^2=121
12^2=144
13^2=169
14^2=196
15^2=225
16^2=256
17^ 2=289
18^2=324
19^2=361
20^2=400
Ovdje mozemo uociti koja je veza izmedju zadnje cifre kvadrata ovih brojeva i zadnje cifre zadanog broja
Primjer
Zadan je broj 18
Zadnja cifra je 8
8^2=64
18^2=324
Jedna od narednih jednakosti je netacna koja
29^2=784 (netacno) zadnja cifra mora biti 1 jer je 9^2=81
28^2=784 (tacno) jer je 8^2=64
Kvadriranje decimalnog broja
0,3^2=0,09
Trazi se kvadrat broja 0,3. Nalazi se tako sto nadjemo kvadrat broja 3.
3^2=9, sada odredimo broj decimalnih njesta, on mora biti dvostruko veci nego u zadanom broju. Znaci mora biti 2 decimalna mjesta. Dobili smo broj 0,09, sto znaci:
0,3^2=0,09
Na ovaj nacin mozemo napamet naci kvadrat decimalnog broja ako on nije preslozen.
0,3^2=(3^2=9)=0,0003
Ako zadani broj zavrsava nulom, njegov kvadrat zavrsava sa duplo vise nula.
80^2=6400
60^2=(6^2=36)=3600
Ako zadani broj zavrsava sa 5, postoji pravilo kako se napamet racunaju.
35^2=1225
35^2=3(5)^2=( 3 mnozimo sa njegobim sljedbenikom 4 3*4=12 i dopisemo 25)
45^2=(4*5=20)=2025
Kvadrat proizvoda dva broja jednak je proivodu kvadrata tih brojeva
(xy)^2=x^2y^2
(3*6)^2=3^2*6^2=9*36=324
Kvadrat kolicnika dva broja jednak je kolicniku kvadrata tih brojeva
(x/y)2=x^2/y^2 y≠0
Primjer: (6/3)2=2^2=4
6^2/3^2=36/9=4
Kvadrat zbita dvaju brojeva jednak je zbiru kvadrata tih brojeva i njihovog dvostrukog proizvoda
(a+b)|^2=a^ 2+b^2+2•a•b
Primjer: (2+3)^2= 5^2 =25
2^2+3^2+2•2•3=4+9+12=25

Kvadrat razlike dva broja jednak je zbiru kvadrata tih brojeva umanjenom za dvostruki proizvod tih brojeva.
(a-b)|^2=a^ 2+b^2-2•a•b
Primjer: (3-2)^2= 1^2 =1
3^2+2^2-2*3*2=9+14-12=1

Korjenovanje
Izvaditi kvadratni korjen iz nekog broja x znaci naci broj a takav da je x=a^2
Peimjer
Naci korjen btoja 25
(25)^(1/2)=±5
0^(1/2)=0
Djelomicno korjenovanje je korjenovanje koje se ne moze u potpunosti izvrsiti
(450)^(1/2)=(9*50)^(1/2)=3*(50)^81/2)
Postoji pravilo kako se pismenim putem odredjuje kvadratni korjen. Nadjim kvadratni korjen broja 54289
Podijelimo cifre zadanog broja u grupe po 2 cifre. Krecemo od prve grupe sa lijeve strane
Kako je zadani broj podijeljen na sljedeci nacin
5 42 89 to krecemo od cifre 5
Treba naci broj ciji je kvadtat ≤ od te grupe. To znaci treba naci broj ciji je kvadrat ≤ 5. To je broj 2 jer je 2^2=4≤5
Taj broj kvadriramo i oduzmemo od prve grupe. Tj. 5-4=1 i spustimo drugu grupu. Dobijamo broj 142.
Izvaditi korjen14 172 225
14 172 225=9*10^6+5 175 225
= 9• 10^6+ 67 • 7 • 10^4 + 485 225
= 9• 10^ 6+ 67 • 7 • 10^4 + 746 • 6 • 10^2 + 37 625
= 9• 10^6 + 67 • 7 • 10^4 + 746 • 6 • 10^2 + 7 525 • 5
= 3 7652.
Ovaj se postupak shematizira ovako

Broj koji smo dobili (kod nas broj 2) udvostrucimo (2*2=4) i napisemo sa strane. Neka je to lijevo od broja 142. Trazimo broj koji pocinje cifrom 4 sa osobinom proizvod tog broja i njegove cifre jedinice ≤ od nove grupe ( kod nas to znaci ≤142).
Trazimo cifru d takvu da je4d*d≤142, tj
41*1=41
42*2<'84
43*3=129
44*4=176
Odnosno d=3
Broj 3 upisemo u rezultat i proizvod 43*3=129 oduzmemo od 142. To je broj 13 i spustimo broj 89, ponavljamo ovJ korak. Sad dopisemo sa lijeve strane broj 46 (23*2=46)
Trazimo broj 46d*d≤1389 to je broj 463 (463*3=1389)
Kvadratni korjen iz broja54289 je 233

---